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Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:55 Di 12.12.2017
Autor: Filza

[mm] \integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{y} e^{-y-\bruch{x}{y}} [/mm] dx

Wie kann man dieses Integral berechnen?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:11 Di 12.12.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> [mm]\integral_{0}^{\infty} \bruch{1}{y} e^{-y-\bruch{x}{y}}[/mm] dx

>

> Wie kann man dieses Integral berechnen?

Das ist ein recht einfaches uneigentliches Integral.

Bedenke zunächst, dass y konstant ist, da nach x integriert wird.

Dann führst du am besten ersteinmal eine variable obere Grenze z ein und berechnest

[mm]J(z)= \int_{0}^{z}{ \frac{1}{y}e^{-y-x/y} dx}=\frac{1}{y}\int_{0}^{z}{ e^{-y-x/y} dx}[/mm]

Wenn du das hast, dann berechne

[mm]\int_{0}^{\infty}{ \frac{1}{y}e^{-y-x/y} dx}= \lim_{z\rightarrow\infty}J(z) [/mm]

und du bist fertig.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:48 Di 12.12.2017
Autor: Filza

Oh ich hatte da ein Fehler gemacht.. da kommt dy statt dx.
Also man hätte dann [mm] \limes_{z\rightarrow\infty} \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{y} exp(-y-\bruch{x}{y}) dy} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:06 Di 12.12.2017
Autor: notinX

Hallo,

> Oh ich hatte da ein Fehler gemacht.. da kommt dy statt dx.
>  Also man hätte dann [mm]\limes_{z\rightarrow\infty} \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{y} exp(-y-\bruch{x}{y}) dy}[/mm]
>  

im Prinzip ja. Eine Stammfunktion gibt es zu dieser Funktion aber nicht, zumindest findet meine Mathe-Software keine.
Wenn Du Dich auf einen Wert für x festlegst kannst Du es mal numerisch versuchen.

Gruß,

notinX

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Bezug
Integral berechnen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:11 Di 12.12.2017
Autor: Filza

also ich musste in der Aufgabenstellung zeigen, dass es sich um eine Dichtefunktion handelt. Den Integral nach x habe ich berechnet und der Integral nach y müsste eigentlich existieren.
Hat jemand eine Idee wie man die berechnet?

Bezug
                                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:54 Di 12.12.2017
Autor: notinX


> also ich musste in der Aufgabenstellung zeigen, dass es
> sich um eine Dichtefunktion handelt. Den Integral nach x
> habe ich berechnet und der Integral nach y müsste
> eigentlich existieren.

Es kann ja durchaus existieren, eine Stammfunktion der Funktion im Integral ist aber nicht bekannt.

>  Hat jemand eine Idee wie man die berechnet?

In der Lösung des Integrals tauchen modifizierte Besselfunktionen zweiter Art auf:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate(1%2Fy*exp(-y-x%2Fy),y,0,inf)
Diese Lösung "von Hand" zu bestimmen dürfte nicht ganz trivial sein.

Gruß,

notinX

Bezug
                        
Bezug
Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:52 Di 12.12.2017
Autor: donquijote


> Oh ich hatte da ein Fehler gemacht.. da kommt dy statt dx.
>  Also man hätte dann [mm]\limes_{z\rightarrow\infty} \integral_{0}^{z}{\bruch{1}{y} exp(-y-\bruch{x}{y}) dy}[/mm]
>  

Hallo,
kann es sein, dass zu zeigen ist, dass [mm]f(x,y)=\bruch{1}{y} exp(-y-\bruch{x}{y})[/mm] eine Dichte auf [mm](0,\infty)^2[/mm] definiert und somit das Doppelintegral [mm]\integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{y} exp(-y-\bruch{x}{y}) dx\,dy}[/mm] zu berechnen ist?

Bezug
                                
Bezug
Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:07 Di 12.12.2017
Autor: Filza

Achso ja stimmt danke:)

Bezug
                                        
Bezug
Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:04 Mi 13.12.2017
Autor: donquijote


> Achso ja stimmt danke:)

Hallo,
es wäre schon hilfreich gewesen, die Aufgabenstellung gleich korrekt wiederzugeben.
Zur Rechnung: Berechne erst das Integral nach x, danach ist das Integral nach y auch lösbar.

Bezug
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