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Integral berechnen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Fr 28.02.2014
Autor: Bindl

Aufgabe
Berechnen Sie folgendes Integral

[mm] I_2 [/mm] = [mm] \integral_{0}^{3}{7*x*e^{x}^{2} dx} [/mm]

Hi zusammen,

zunächst muss ich sagen das bei dem Teil mit"e" es e hoch x hoch 2 bedeuten soll. Habe es nicht hinbekommen es richtig darzustellen.

Nun zur Aufgabe.
Zunächst habe ich mal die 7 als Konstante rausgezogen.
[mm] I_2 [/mm] = [mm] 7*\integral_{0}^{3}{x*e^{x}^{2} dx} [/mm]

Nun haben wir in der Übung folgendes gemacht.
Substitution u = [mm] x^2 [/mm]     du= 2x dx    -> dx = [mm] \bruch{du}{2} [/mm]
du = 2x dx weil [mm] x^2 [/mm] zu 2x wird, das verstehe ich noch.
den "dx =" Teil kann ich nicht ganz nachvollziehen. Hab ich da was falsch mitgeschrieben ?

[mm] \integral{e^u} [/mm] dx = [mm] \bruch{1}{2} \integral{e^u} [/mm] dx = [mm] \bruch{e^u}{2} [/mm]
Der 1/2 Teil denke ich mal kommt wegen dx = [mm] \bruch{du}{2}, [/mm] stimmt das ?

Jetzt die Rücksubstitution, also wieder [mm] x^2 [/mm] statt u.

Nun wurde die Konstante 7 mit dem Bruch multipliziert.
Also [mm] \bruch{7e^x^2}{2}+C [/mm]
Das kann ich auch nachvollziehen.

Nur frage ich mich was aus dem x wurde zwischen der 7 und e ?
[mm] \integral{x} [/mm] dx = [mm] \bruch{x^2}{2} [/mm] + C
Wurde das vergessen oder habe ich etwas falsch verstanden ?

Danke für die Hilfe im voraus

        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Fr 28.02.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie folgendes Integral
>  
> [mm]I_2[/mm] = [mm]\integral_{0}^{3}{7*x*e^{x}^{2} dx}[/mm]
>  Hi zusammen,
>  
> zunächst muss ich sagen das bei dem Teil mit"e" es e hoch
> x hoch 2 bedeuten soll. Habe es nicht hinbekommen es
> richtig darzustellen.

Du musst die geschweiften Klammern um die Exponenten
richtig setzen, so:

     $\ [mm] 7*x*e^{x^2}$ [/mm]       ( <---  drauf klicken ! )


> Nun zur Aufgabe.
>  Zunächst habe ich mal die 7 als Konstante rausgezogen.
>  [mm]I_2[/mm] = [mm]7*\integral_{0}^{3}{x*e^{x}^{2} dx}[/mm]

Ich würde vorschlagen, nur einen Faktor 3.5 rauszuziehen:

  [mm]I_2\ =\ 3.5*\integral_{0}^{3}(2\,x)*e^{x^2} dx\ =\ 3.5*\integral_{x=0}^{x=3}\underbrace{e^{x^2}}_{e^{u}}\ *\ \underbrace{(2\,x)\ dx}_{du}[/mm]


  

> Nun haben wir in der Übung folgendes gemacht.
>  Substitution u = [mm]x^2[/mm]     du= 2x dx    [ok]   -> dx = [mm]\bruch{du}{2}[/mm]    [notok]

Wo ist das  x  geblieben ??


>  du = 2x dx weil [mm]x^2[/mm] zu 2x wird, das verstehe ich noch.
>  den "dx =" Teil kann ich nicht ganz nachvollziehen. Hab
> ich da was falsch mitgeschrieben ?

Ja eben. Du hast das x unterschlagen.

> [mm]\integral{e^u}\, dx\ =\ \bruch{1}{2} \integral{e^u}\, dx\ =\ \bruch{e^u}{2}[/mm]   [haee]

Da solltest du die richtigen Differentiale verwenden und
sie nicht verwechseln !

> ....
> ....

LG , Al-Chwarizmi

Bezug
                
Bezug
Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Fr 28.02.2014
Autor: Bindl

Hi,
so richtig komme ich immer noch nicht hinter meine Problematik.
[mm] 7*\integral_{0}^{3}{e^{x^2} dx} [/mm]

u = [mm] x^2 [/mm]      du = 2x * dx       x * dx = [mm] \bruch{du}{2} [/mm]

[mm] \bruch{1}{2} \integral{e^u} [/mm] du = [mm] \bruch{e^u}{2} [/mm]

Jetzt die Rücksubstitution:
[mm] \bruch{e^{x^2}}{2} [/mm]
Diesen multipliziere ich nun mit der Konstante 7 und bekomme,
[mm] \bruch{7*e^{x^2}}{2} [/mm] + C

Jetzt noch obere minus unterer Grenze

Was ich noch nicht so wirklich verstanden habe ist, was mit dem x passiert.
x * dx wird durch [mm] \bruch{du}{2} [/mm] ersetzt, aber muss ich das nicht wie bei der Substitution am Ende wieder dazu bringen ?
Hier stehe ich echt auf dem Schlauch.


Bezug
                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:55 Fr 28.02.2014
Autor: Ladon


> Hi,
>  so richtig komme ich immer noch nicht hinter meine
> Problematik.
>  [mm] $7*\integral_{0}^{3}{$[red]x[/red]$\cdot e^{x^2} dx}$ [/mm]
>  
> u = [mm]x^2[/mm]      du = 2x * dx      x * dx = [mm]\bruch{du}{2}[/mm]

Warum bringst du das x nicht auch auf die andere Seite in der Form:
$ du = 2x * [mm] dx\gdw dx=\frac{du}{2x}$. [/mm]
Anschließend gehst du so wie bei jeder Substitution vor. Du machst das, was du geschrieben hast, d.h. ersetze: [mm] x^2=u [/mm] und [mm] dx=\frac{du}{2x}. [/mm] Wir erhalten:
[mm] 7*\integral_{0}^{3}{xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{3}{2xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{9}{e^{u} dx}=\frac{7}{2}[e^{u}]_{0}^9, [/mm] wobei [mm] u=x^2. [/mm] Jetzt kannst du es meinetwegen rücksubstituieren oder mit der veränderten Grenze u(0)=0 und u(3)=9 rechnen.


>  
> [mm]\bruch{1}{2} \integral{e^u}[/mm] du = [mm]\bruch{e^u}{2}[/mm]
>  

Irgendwie fehlt hier der Vorfaktor 7. Den multiplizierst du später zwar dazu, aber das ist zumindest kein schöner Stil, höchstens verwirrend.

> Jetzt die Rücksubstitution:
>  [mm]\bruch{e^{x^2}}{2}[/mm]
>  Diesen multipliziere ich nun mit der Konstante 7 und
> bekomme,
>  [mm]\bruch{7*e^{x^2}}{2}[/mm] + C
>  
> Jetzt noch obere minus unterer Grenze
>  
> Was ich noch nicht so wirklich verstanden habe ist, was mit
> dem x passiert.
>  x * dx wird durch [mm]\bruch{du}{2}[/mm] ersetzt, aber muss ich das
> nicht wie bei der Substitution am Ende wieder dazu bringen
> ?
>  Hier stehe ich echt auf dem Schlauch.
>  

Was mit dem x passiert hast du in meinen Ausführungen oben gesehen. Mit dem x passiert dasselbe, wie mit der 2. Es kürzt sich quasi weg, da du eben [mm] x^2 [/mm] durch dein u substituierst (ersetzt) und dx durch [mm] \frac{du}{2x} [/mm] ersetzt.


MfG Ladon

Bezug
                                
Bezug
Integral berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:14 Fr 28.02.2014
Autor: Bindl

Hi

> Warum bringst du das x nicht auch auf die andere Seite in
> der Form:
>  [mm]du = 2x * dx\gdw dx=\frac{du}{2x}[/mm].
>  Anschließend gehst du
> so wie bei jeder Substitution vor. Du machst das, was du
> geschrieben hast, d.h. ersetze: [mm]x^2=u[/mm] und [mm]dx=\frac{du}{2x}.[/mm]
> Wir erhalten:
>  [mm]7*\integral_{0}^{3}{xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{3}{2xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{9}{e^{u} dx}=\frac{7}{2}[e^{u}]_{0}^9,[/mm]
> wobei [mm]u=x^2.[/mm]

Ich denke mal bei deinem dritten Schritt soll es du und nicht dx sein, oder ?
Nun habe ich verstanden wieso sich x, bzw. 2x, weggkürzt.
Jetzt kann ich auch den ersten Tipp nachvollziehen, das ich desser 7/2 und nicht 7 als Konstante rausziehen sollte.


> Was mit dem x passiert hast du in meinen Ausführungen oben
> gesehen. Mit dem x passiert dasselbe, wie mit der 2. Es
> kürzt sich quasi weg, da du eben [mm]x^2[/mm] durch dein u
> substituierst (ersetzt) und dx durch [mm]\frac{du}{2x}[/mm]
> ersetzt.



Bezug
                                        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Fr 28.02.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> > Wir erhalten:
> > [mm]7*\integral_{0}^{3}{xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{3}{2xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{9}{e^{u} dx}=\frac{7}{2}[e^{u}]_{0}^9,[/mm]
> > wobei [mm]u=x^2.[/mm]
> Ich denke mal bei deinem dritten Schritt soll es du und
> nicht dx sein, oder ?

Ja, genau so ist es. [ok]

> Nun habe ich verstanden wieso sich x, bzw. 2x,
> weggkürzt.
> Jetzt kann ich auch den ersten Tipp nachvollziehen, das
> ich desser 7/2 und nicht 7 als Konstante rausziehen
> sollte.

Ja, das ist halt die hohe Kunst der Integration. ;-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Fr 28.02.2014
Autor: Bindl

Ich werde in Zukunft mit dem rausziehen von Konstanten nicht so voreilig sein und erst einmal darauf achten, mit was ich eine Substitution mache.

Danke für eure Hilfe

Bezug
                                        
Bezug
Integral berechnen: Richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:36 Mo 03.03.2014
Autor: Ladon


> Hi
>  
> > Warum bringst du das x nicht auch auf die andere Seite in
> > der Form:
>  >  [mm]du = 2x * dx\gdw dx=\frac{du}{2x}[/mm].
>  >  Anschließend
> gehst du
> > so wie bei jeder Substitution vor. Du machst das, was du
> > geschrieben hast, d.h. ersetze: [mm]x^2=u[/mm] und [mm]dx=\frac{du}{2x}.[/mm]
> > Wir erhalten:
>  >  [mm]7*\integral_{0}^{3}{xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{3}{2xe^{x^2} dx}=\frac{7}{2}*\integral_{0}^{9}{e^{u} dx}=\frac{7}{2}[e^{u}]_{0}^9,[/mm]
> > wobei [mm]u=x^2.[/mm]
>  Ich denke mal bei deinem dritten Schritt soll es du und
> nicht dx sein, oder ?

Da hast du Recht. Das passiert wenn man sich zur Vereinfachung des copy-and-paste bedient. ;-)

LG Ladon

Bezug
        
Bezug
Integral berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Fr 28.02.2014
Autor: Ladon

Hallo Bindl,

vielleicht noch mal kurz etwas grundsätzliches.

> Nun haben wir in der Übung folgendes gemacht.
>  Substitution u = [mm]x^2[/mm]     du= 2x dx    -> dx =

> [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
>  du = 2x dx weil [mm]x^2[/mm] zu 2x wird, das verstehe ich noch.
>  den "dx =" Teil kann ich nicht ganz nachvollziehen. Hab
> ich da was falsch mitgeschrieben ?

Ich fand es immer hilfreich mit folgendem zu beginnen:
[mm] \frac{du}{dx}=2x [/mm]
Danach folgen Äquivalenzumformungen zu der gewünschten Form "dx=".
Ich habe mir immer als Gedankenstütze gemerkt, dass ich bei "du nach dx" eben mein [mm] u=x^2 [/mm] nach x ableiten muss. Irgendwann geht das in Fleisch und Blut über :-)
Aber gerade zu Anfang war mir das immer eine Gedankenstütze.

MfG Ladon

Bezug
                
Bezug
Integral berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 Fr 28.02.2014
Autor: Bindl

Danke für den Tipp

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