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Integral auseinanderziehen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Integral auseinanderziehen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:06 Mo 26.01.2015
Autor: sissile

Aufgabe
Sei a <c < b und f:[a,b] [mm] \to \mathbb{R} [/mm] beschränkt.
f ist R-integrierbar [mm] \gdw f|_{[a,c]} [/mm] und  [mm] f|_{[c,b]} [/mm] R-integrierbar
In diesem Fall  gilt [mm] \int_a^b [/mm] f= [mm] \int_a^c [/mm] f+ [mm] \int_c^b [/mm] f


[mm] \Rightarrow) [/mm]
f ist R-integrierbar d.h. [mm] \exists \psi,\phi \in \tau(a,b) [/mm] mit [mm] \phi \le [/mm] f [mm] \le \psi [/mm] mit 0 [mm] \le \int_a^b (\psi-\phi) [/mm] (x) dx [mm] \le \epsilon [/mm]
Es gilt: [mm] \phi|_{[a,c]}\le f|_{[a,c]} \le \psi|_{[a,c]} [/mm]
[mm] \phi|_{[c,b]}\le f|_{[a,c]} \le \psi|_{[c,b]} [/mm]
Nun ist zuzeigen: 0 [mm] \le \int_a^c (\psi|_{[a,c]}-\phi|_{[a,c]}) [/mm] (x) dx [mm] \le \epsilon [/mm]
Da bin ich mir unsicher, wie ich die Abschätzung machen muss, da ich die Grenzen verändern muss??

Andere Methode:
Ich hab gedacht, dass ich es vlt mit Riemannsummen und dem Theorem, dass eine beschränkte Funktion auf [a,b] genau dann R-integrierbar (Oberintegral=Unterintegral) ist wenn $ [mm] \exists [/mm] $ s $ [mm] \in \IR [/mm] $ mit der Aussage: $ [mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] $ so dass für jede Zerlegung und Belegung, zusammengefasst als $ [mm] B=((x_k)_{k=0}^{n}), (\epsilon_j)_{j=1}^{n}) [/mm] $  mit $ [mm] \mu(B)<\delta(Feinheit [/mm] $ der Zerlegung) gilt:
$ [mm] |S(B,f)-s|\le \epsilon [/mm] $
In diesem Fall $ [mm] s=\int_a^b [/mm] $ f(x) dx


$ [mm] \Rightarrow [/mm] $ )
Sei Z: $ [mm] a=x_0 Zusammengefasst als $ [mm] B=((x_k)_{k=0}^{n}, (\epsilon_j)_{j=1}^{n}) [/mm] $
Nach Voraussetzung gilt $ [mm] \forall \epsilon>0 \exists \delta>0 [/mm] $ so dass für $ [mm] \mu(B)< \delta [/mm] $ (Feinheit der Zerlegung) gilt: | $ [mm] S(B,f)-\int_a^b [/mm] $ f(x) dx| $ [mm] \le \epsilon [/mm] $

Wenn $ [mm] \exists [/mm] $ k $ [mm] \in \{1,..n\} [/mm] $ : $ [mm] x_k=c [/mm] $ dann kann ich die Zerlegung sowie die Belegung auseinander teilen. Sei $ [mm] x_{k_0}=c [/mm] $
$ [mm] B_1=((x_k)_{k=0}^{k_0},(\epsilon_j)_{j=1}^{k_0}) [/mm] $
$ [mm] B_2=((x_k)_{k_0}^{n},(\epsilon_j)_{k_0 +1}^{n}) [/mm] $
$ [mm] S(B,f)=\sum_{k=1}^n f(\epsilon_k) (x_k-x_{k-1})=\sum_{k=1}^{k_0} f|_{[a,c]}(\epsilon_k) (x_k-x_{k-1})+\sum_{k=k_0+1}^n f|_{[c,b]}(\epsilon_k) (x_k-x_{k-1}) [/mm] $ = $ [mm] S(B_1, f|_{[a,c]}) +S(B_2,f|_{[c,b]}) [/mm] $

Noch zuzeigen:
$ [mm] \forall \epsilon_1>0 \exists \delta_1>0 [/mm] $ so dass für $ [mm] \mu(B_1)<\delta_1: |S(B_1, f|_{[a,c]} [/mm] $ - $ [mm] \int_a^c f|_{[a,c]}| <\epsilon_1 [/mm] $
sowie
$ [mm] \forall \epsilon_2>0 \exists \delta_2>0 [/mm] $ so dass für $ [mm] \mu(B_2)<\delta_2: |S(B_2, f|_{[c,b]} [/mm] $ - $ [mm] \int_c^b f|_{[c,b]}| <\epsilon_2 [/mm] $

Ich hab nur:
$ [mm] |S(B_1, f|_{[a,c]}) +S(B_2,f|_{[c,b]})-\int_a^b [/mm] $ f(x) dx|=| $ [mm] S(B,f)-\int_a^b [/mm] $ f(x) dx| $ [mm] \le \epsilon [/mm] $
Ich weiß aber nun nicht zubegründen: $ [mm] \int_a^b [/mm] $ f= $ [mm] \int_a^c [/mm] $ f + $ [mm] \int_c^b [/mm] $ f um das zuzeigende zu beweisen.

LG,
sissi

        
Bezug
Integral auseinanderziehen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:08 Mo 26.01.2015
Autor: leduart

Hallo sissili
du musst doch nur [mm] \delta_1 [/mm] und [mm] \delta [/mm] 2 so wählen, dass beide Riemansummen -Integral < [mm] \epsilon(2 [/mm] sind. dann vist du fertig. umgekehrt kannst du dann in jede zerlegun die c nicht enthält c einfügen und  erhälst einen feinere unterteilung.
Gruß ledum

Bezug
                
Bezug
Integral auseinanderziehen: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:33 Di 27.01.2015
Autor: sissile


> Hallo sissili
>  du musst doch nur [mm]\delta_1[/mm] und [mm]\delta[/mm] 2 so wählen, dass
> beide Riemansummen -Integral < [mm]\epsilon(2[/mm] sind. dann vist
> du fertig.


Ja genau das hab ich in Beitrag 1 aufgeschrieben:
Es ist ZZ.:
$ [mm] \forall \epsilon_1>0 \exists \delta_1>0 [/mm] $ so dass für $ [mm] \mu(B_1)<\delta_1: |S(B_1, f|_{[a,c]}) [/mm] $ - $ [mm] \int_a^c f|_{[a,c]}| <\epsilon_1 [/mm] $
sowie
$ [mm] \forall \epsilon_2>0 \exists \delta_2>0 [/mm] $ so dass für $ [mm] \mu(B_2)<\delta_2: |S(B_2, f|_{[c,b]}) [/mm] $ - $ [mm] \int_c^b f|_{[c,b]}| <\epsilon_2 [/mm] $

[mm] \delta_1 [/mm] und [mm] \delta_2 [/mm] hab ich gleich [mm] \delta [/mm] gewählt so dass
[mm] |S(B,f)-\int_a^b [/mm]  f(x) dx|  [mm] \le \epsilon [/mm]

Ich scheitere an dem wie, was zuzeigen ist, ist mir klar.
Wenn du was anderes mit deinen Beitrag meintest wäre ich dankbar, wenn du nochmal erklärst was du meinst.

LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Integral auseinanderziehen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 Do 29.01.2015
Autor: sissile

Hallo,
Achso hatte ganz vergessen zu schreiben. Hab es schon hinbekommen.
Danke.

LG,
sissi

Bezug
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