matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenIntegral / Transformation
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Integral / Transformation
Integral / Transformation < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integral / Transformation: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:22 Fr 27.05.2016
Autor: Schobbi

Aufgabe
Berechnen Sie [mm] I=\integral_{\IR^2}^{}{e^{-x^2-y^2} d(x,y)} [/mm]
mit Hilfe einerTransformation in Polarkoordinaten
[mm] \IR^{+}\times(0,2\pi)\to\IR^{2}, (r,\phi)\mapsto(x,y)=(rcos\phi, rsin\phi) [/mm] (*)

Guten Morgen, bei obiger Aufgabe hänge ich ein bisschen beim Verständnis der Transformation, vielleicht könnt Ihr mir da weiterhelfen. DANKE!

[mm] \integral_{\IR^2}^{}{e^{-x^2-y^2} d(x,y)}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2-y^2} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(x^2+y^2)} dx dy} [/mm]

Polarkoordinaten: [mm] x=rcos\phi, y=rsin\phi [/mm]

[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-((rcos\phi)^2+(rsin\phi)^2)} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi)} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(r^2(cos^2\phi+sin^2\phi))} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-r^2} dx dy}= \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{2\pi}{r*e^{-r^2} dx dy} [/mm]

das letzte = kann ich nicht ganz nachvollziehen. Vieleicht könnt Ihr mir das etwas genauer erhlären. DANKE!
Oder kann ich mir das so erklären: da der Radius r>0 sein muss, reicht es aus das Intergral von 0 bis [mm] \infty [/mm] zu betrachten und da [mm] \phi [/mm] bei sin und cos in [mm] 2\pi [/mm] periodisch ist, sich also wiederholt reicht hier das Integral von 0 und [mm] 2\pi? [/mm] Das würde dann ja auch (*) aus der Aufgabenstellung entsprechen. Aber wie kann ich mir das "zusätzliche" r im Integral erklären?

weiter lässt sich das Integral dann mit Fubini und Substitution recht gut berechnen und ich erhalte [mm] \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{2\pi}{r*e^{-r^2} dx dy}=\pi. [/mm]



        
Bezug
Integral / Transformation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 Fr 27.05.2016
Autor: Al-Chwarizmi


> Berechnen Sie [mm]I=\integral_{\IR^2}^{}{e^{-x^2-y^2} d(x,y)}[/mm]
> mit Hilfe einerTransformation in Polarkoordinaten
>  [mm]\IR^{+}\times(0,2\pi)\to\IR^{2}, (r,\phi)\mapsto(x,y)=(rcos\phi, rsin\phi)[/mm]
> (*)
>  Guten Morgen, bei obiger Aufgabe hänge ich ein bisschen
> beim Verständnis der Transformation, vielleicht könnt Ihr
> mir da weiterhelfen. DANKE!
>  
> [mm]\integral_{\IR^2}^{}{e^{-x^2-y^2} d(x,y)}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2-y^2} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(x^2+y^2)} dx dy}[/mm]
>
> Polarkoordinaten: [mm]x=rcos\phi, y=rsin\phi[/mm]
>  
> [mm]\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-((rcos\phi)^2+(rsin\phi)^2)} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(r^2cos^2\phi+r^2sin^2\phi)} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-(r^2(cos^2\phi+sin^2\phi))} dx dy}=\integral_{-\infty}^{\infty}\integral_{-\infty}^{\infty}{e^{-r^2} dx dy}= \integral_{0}^{\infty}\integral_{0}^{2\pi}{r*e^{-r^2} dx dy}[/mm]
>  
> das letzte = kann ich nicht ganz nachvollziehen.

Du hast diesen Schritt auch nicht richtig notiert.
Das dx dy  muss durch das Flächenelement in r und [mm] \phi [/mm]
ersetzt werden.

> Vielleicht könnt Ihr mir das etwas genauer erhlären. DANKE!
> Oder kann ich mir das so erklären: da der Radius r>0 sein
> muss, reicht es aus das Intergral von 0 bis [mm]\infty[/mm] zu
> betrachten und da [mm]\phi[/mm] bei sin und cos in [mm]2\pi[/mm] periodisch
> ist, sich also wiederholt reicht hier das Integral von 0
> und [mm]2\pi?[/mm] Das würde dann ja auch (*) aus der
> Aufgabenstellung entsprechen. Aber wie kann ich mir das
> "zusätzliche" r im Integral erklären?


Hallo Schobbi,

es scheint, dass dir nur noch nicht ganz klar ist, dass man
bei der Koordinatentransformation auch das Differential
transformieren muss. Im vorliegenden Fall gilt:

    dx dy = [mm] r*dr*d\phi [/mm]

(https://de.wikipedia.org/wiki/Polarkoordinaten#Fl.C3.A4chenelement)

Ferner: um die gesamte Ebene abzudecken, müssen zwar
die beiden kartesischen Koordinaten je von [mm] -\infty [/mm] bis [mm] +\infty [/mm] laufen;
bei den Polarkoordinaten eben r nur von 0 bis [mm] +\infty [/mm] und [mm] \phi [/mm]
von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] . Das kannst du dir anschaulich sofort klar
machen.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
Integral / Transformation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Fr 27.05.2016
Autor: Schobbi

Besten DANK für deine Hilfe, hab ganz übersehen, dass ich bei der Transformation die Determinante der Jacobimartix mit berachten muss und die ist in diesem Fall nämlich genau r :-) und dann passts!!

PS: Mein Fehler in der Notation oben ist dem "copy&paste" geschuldet - sorry natürlich muss es dr und [mm] d\phi [/mm] heißen ;-)

Einen schönen Start ins Wochenende

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]