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Integral / Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Do 31.07.2014
Autor: mathestudent111

Aufgabe
[mm] \vmat{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}} \le \integral_{a}^{b}{\vmat{f(x)} dx} [/mm]

Hallo Leute,

eine kleine kurze Frage. Gilt denn die obige Gleichung i.A.?

Danke schonmal.

LG

        
Bezug
Integral / Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 Do 31.07.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> [mm]\vmat{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}} \le \integral_{a}^{b}{\vmat{f(x)} dx}[/mm]
>  
> Hallo Leute,
>  
> eine kleine kurze Frage. Gilt denn die obige Gleichung
> i.A.?

So ganz im Allgemeinen nicht.

1) Welche Relation muss zwischen [mm] $a\$ [/mm] und [mm] $b\$ [/mm] gelten?
2) Wie ist wohl [mm] $f\$ [/mm] definiert? Welche Voraussetzung fehlt?

Ich tippe aber, dass du beides voraussetzt. ;-)


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Integral / Betrag: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:30 Do 31.07.2014
Autor: mathestudent111

Hallo,
danke für deine schnelle Antwort.

Vielleicht stelle ich die genaue Frage.
Also dabei sind g und f Wahrscheinlichkeitsdichten.
Also [mm] f,g:\IR \mapsto [0,\infty]. [/mm]

[mm] \vmat{\integral_{\IR}^{}{g(x)f(x) dx}} \le \integral_{\IR}^{}{g(x)\vmat{f(x)} dx}? [/mm]

Intuitiv würde ich sagen es stimmt. Aber ich bekomm kein ordentlichen Beweis hin :(

Bezug
                        
Bezug
Integral / Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Fr 01.08.2014
Autor: DieAcht


> Vielleicht stelle ich die genaue Frage.
> Also dabei sind g und f Wahrscheinlichkeitsdichten.
>  Also [mm]f,g:\IR \mapsto [0,\infty].[/mm]
>  
> [mm]\vmat{\integral_{\IR}^{}{g(x)f(x) dx}} \le \integral_{\IR}^{}{g(x)\vmat{f(x)} dx}?[/mm]

Tippfehler beim Setzen des Betrags auf der rechten Seite?

> Intuitiv würde ich sagen es stimmt. Aber ich bekomm kein
> ordentlichen Beweis hin :(

Ja, die Voraussetzung, dass [mm] $f\$ [/mm] integrierbar ist hatte
gefehlt und das ist hier natürlich nach Definition einer
Dichte gegeben. Dein Vorschlag von deinem letzten Beitrag
kannst du sicher unter Dreiecksungleichung für Integrale
finden.

Bezug
                        
Bezug
Integral / Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:08 Fr 01.08.2014
Autor: fred97


> Hallo,
> danke für deine schnelle Antwort.
>  
> Vielleicht stelle ich die genaue Frage.
> Also dabei sind g und f Wahrscheinlichkeitsdichten.
>  Also [mm]f,g:\IR \mapsto [0,\infty].[/mm]
>  
> [mm]\vmat{\integral_{\IR}^{}{g(x)f(x) dx}} \le \integral_{\IR}^{}{g(x)\vmat{f(x)} dx}?[/mm]
>  
> Intuitiv würde ich sagen es stimmt.


Natürlich stimmt das ! Vorausgesetzt ist, dass  f und g nichtnegativ sind. Dann kannst Du Dir doch rechts und links die Betragsstriche sparen !

FRED


> Aber ich bekomm kein
> ordentlichen Beweis hin :(


Bezug
                        
Bezug
Integral / Betrag: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Fr 01.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
> danke für deine schnelle Antwort.
>  
> Vielleicht stelle ich die genaue Frage.
> Also dabei sind g und f Wahrscheinlichkeitsdichten.
>  Also [mm]f,g:\IR \mapsto [0,\infty].[/mm]
>  
> [mm]\vmat{\integral_{\IR}^{}{g(x)f(x) dx}} \le \integral_{\IR}^{}{g(x)\vmat{f(x)} dx}?[/mm]
>  
> Intuitiv würde ich sagen es stimmt. Aber ich bekomm kein
> ordentlichen Beweis hin :(

echt nicht? Ich zeige mehr: Es gilt sogar Gleichheit:

    [mm] $\int_{\IR} (f(x)*g(x))dx=\int_{\IR} (\,f(x)*|g(x)|\,)dx=|\int_{\IR} (f(x)*g(x))dx|=\int_{\IR} [/mm] |f(x)*g(x)|dx$ (brauchst Du hier wirklich schrittweise Argumente?)

und aus [mm] $a=a\,$ [/mm] folgt auch $a [mm] \ge a\,.$ [/mm]

Kontrollier' mal bitte, ob

    [mm]\vmat{\integral_{\IR}^{}{g(x)f(x) dx}} \le \integral_{\IR}^{}{g(x)\vmat{f(x)} dx}?[/mm]

wirklich die Ungleichung (keine Gleichung!) ist, die Du zeigen willst!

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Integral / Betrag: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Fr 01.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]\vmat{\integral_{a}^{b}{f(x) dx}} \le \integral_{a}^{b}{\vmat{f(x)} dx}[/mm]
>  
> Hallo Leute,
>  
> eine kleine kurze Frage. Gilt denn die obige Gleichung
> i.A.?

das ist eine Ungleichung. Und DieAcht hat unter anderem

    [mm] $\int_{a}^b f(x)dx=-\int_{b}^a [/mm] f(x)dx$

berücksichtigt - das ist im Falle $a > [mm] b\,$ [/mm] relevant. Und natürlich wollte
er sicher auch noch darauf hinaus, dass Integrale existieren sollten. (Das
ist ja nicht klar, nur, weil man ein Symbol hinschreibt:
Für    

    [mm] $g(0):=0\,$ [/mm] und $g(x):=1/x$ für $x > [mm] 0\,$ [/mm]

existiert [mm] $\int_0^1 g(t)\,dt$ [/mm] dennoch nicht (in [mm] $\IR$)!) [/mm]

Aber ansonsten: Das ist eine Standardabschätzungsmethode für Integrale,
sie entspricht im Wesentlichen der *verallgemeinerten Dreiecksungleichung
für Reihen* (man kann die Dreiecksungleichung für endliche Summen
machen (Induktionsbeweis), und dann auch eine Dreiecksungleichung für
absolut konvergente Reihen hinschreiben - und wenn eine Reihe nicht
absolut konvergent ist, dann ist die Reihe über die Beträge der
Summanden eh [mm] $+\infty\,.$ [/mm] Sowas kann man also auch behandeln, wenn man will...).
Das Ding (=die Formel oben) heißt auch

    Dreiecksungleichung für Integrale,

und für Riemann-integrierbare Integrale steht sie bei Heuser, Analysis I,
14. Auflage, direkt zu Beginn von Kapitel 85.

Gruß,
  Marcel

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