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Forum "Integralrechnung" - Integral
Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integral: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Mi 16.04.2014
Autor: Marie886

Hallo,

stehe erneut vor einem ungelösten Integral:

[mm] \integral dx/(x^2+3x+7) [/mm]

mein Ansatz war folgender: Ich habe versucht den Nenner zu vereinfachen

[mm] x^2+3x+7=(x+1)*(x+2)+5 [/mm]

nun habe ich +5 herausgehoben:
5*[((x+1)*(x+2)/5)+1]

das Integral sieht nun so aus:

[mm] \integral1/5*[((x+1)*(x+2)/5)+1]dx= [/mm]
[mm] 1/5\integral1/[((x+1)*(x+2)/5)+1]dx [/mm]

Substituieren
mit dem Ziel im Ergebnis auf Arctan zu kommen bzw. um folgende Form zu erhalten: [mm] 1/(u^2+1) [/mm]

u=(x+1)*(x+2)/5)
du/dx = 2x+3 --> dx= du/(2x+3)

dies setze ich nun im Integral ein:

[mm] 1/5\integral1/(u^2+1)*du/(2x+3) [/mm] und nun kommt mir das alles bissl spanisch vor

Liebe Grüße



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Integral: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Mi 16.04.2014
Autor: Loddar

Hallo Marie!


Dein Weg führt leider nicht zum Ziel.

Forme um wie folgt:

[mm] $\bruch{1}{x^2+3x+7} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{x^2+3x \ \blue{+1{,}5^2-1{,}5^2}+7} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(x+1{,}5)^2+4{,}75} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(x+\bruch{3}{2}\right)^2+\bruch{19}{4}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\left(x+\bruch{3}{2}\right)^2+\left(\bruch{\wurzel{19}}{2}\right)^2}$ [/mm]

Nun klammere entsprechend aus, um im Nenner auf [mm] $u^2+1$ [/mm] zu kommen.


Gruß
Loddar
Bezug
                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:35 Mi 16.04.2014
Autor: Marie886

dann von vorne:

[mm] \integral1/(x^2+3x+7)= [/mm]

NR.: [mm] x^2+3x+7=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{19}{4}=(x+\frac{3}{2})^2+(\bruch{\wurzel{19}}{2})^2=\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} })+1)=\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} })^2+1= [/mm]

nun habe ich [mm] \bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} } [/mm] mit u substituiert

[mm] u=2*\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\wurzel19}=\bruch{2x+3}{\wurzel19} [/mm]

[mm] \bruch{du}{dx}= [/mm] 2 --> [mm] dx=\bruch{du}{2} [/mm]

[mm] \integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+\bruch{19}{4}}=\integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+(\bruch{ \wurzel{19}}{2})^2}=\integral\bruch{1}{\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{19}{4} })^2+1)= }=\integral \bruch{1}{ \bruch{19}{4}*[( \bruch{x+ \bruch{3}{2} }{ \bruch{ \wurzel{19}}{2} } )^2+1] }= \bruch{4}{19}*\integral \bruch{1}{u^2+1}*\bruch{du}{2}= [/mm]
[mm] \bruch{4}{19}* \bruch{1}{2}* \bruch{1}{u^2+1}*du= \bruch{2}{19}* arctan(u)+c=\bruch{2}{19}*arctan (\bruch{2x+3}{ \wurzel{19} }) [/mm]

das ist nun mein Ergebnis!
Stimmt es?




Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:18 Mi 16.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo Marie und [willkommenmr]!


Du hast einen Fehler beim Ableiten gemacht.

> [mm]u=2*\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\wurzel19}=\bruch{2x+3}{\wurzel19}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{du}{dx}=[/mm] 2 --> [mm]dx=\bruch{du}{2}[/mm]

Es gilt:

      [mm] u(x):=\bruch{2x+3}{\wurzel19} [/mm]

      [mm] \Rightarrow u'(x)=\left(\bruch{2x+3}{\wurzel19}\right)'\overset{\text{Faktorregel}}{=}\frac{1}{\sqrt{19}}*(2x+3)'=\frac{1}{\sqrt{19}}*2=\frac{2}{\sqrt{19}}. [/mm]

Verbessere das nun in deiner Rechnung. Übrigens ist das Er-
gebnis fast richtig, aber die Integrationskonstante sollte
man am Ende auch nicht irgendwo liegen lassen. ;-)


Gruß
DieAcht
Bezug
                        
Bezug
Integral: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:37 Mi 16.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo nochmal,


Mir ist noch etwas sehr wichtiges aufgefallen!

> NR.:
> [mm]x^2+3x+7=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{19}{4}=(x+\frac{3}{2})^2+(\bruch{\wurzel{19}}{2})^2=\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} })+1)=\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} })^2+1=[/mm]

Das Ende ist so nicht richtig. Am Ende muss folgendes stehen:

      [mm] \bruch{19}{4}*\left(\left(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2}}\right)^2+1\right). [/mm]

Die Klammer ist sehr wichtig. Mach dir das bitte klar!


Gruß
DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:59 Do 17.04.2014
Autor: Marie886

Danke für die liebe Begrüßung, fühle mich sehr wohl bei euch hier im Forum und mir gefällt, dass hier so viele engagierte Leute mitarbeiten :-)!

mein neues Ergebnis:

[mm] \integral1/(x^2+3x+7)= [/mm]

NR.: [mm] x^2+3x+7=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{19}{4}=(x+\frac{3}{2})^2+(\bruch{\wurzel{19}}{2})^2=\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} })+1)=\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} })^2+1= [/mm]

nun habe ich [mm] \bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} } [/mm] mit u substituiert

[mm] u=2*\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\wurzel19}=\bruch{2x+3}{\wurzel19}=\bruch{1}{\wurzel{19}}*(2x+3) [/mm]

[mm] \bruch{du}{dx}= \bruch{1}{\wurzel{19} }*2= \bruch{2}{ \wurzel{19} } [/mm] --> [mm] dx=\bruch{du*\wurzel{19} }{2} [/mm]

[mm] \integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+\bruch{19}{4}}=\integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+(\bruch{ \wurzel{19}}{2})^2}=\integral\bruch{1}{\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} }+1)= }=\integral \bruch{1}{ \bruch{19}{4}*[( \bruch{x+ \bruch{3}{2} }{ \bruch{ \wurzel{19}}{2} } )^2+1] }= \bruch{4}{19}*\integral \bruch{1}{u^2+1}*\bruch{du* \wurzel{19} }{2}= [/mm]
[mm] \bruch{4}{19}* \bruch{\wurzel{19} }{2}* \bruch{1}{u^2+1}*du= 2*\bruch{\wurzel{19} }{19}* \integral\bruch{1}{u^2+1}*du=2*\bruch{1}{\wurzel{19}}*arctan(u)= \bruch{2}{ \wurzel{19}}*arctan(\bruch{(x+\bruch{3}{2})}{\bruch{ \wurzel{19}}{2}})+c [/mm]

Liebe Grüße
Bezug
                                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:57 Do 17.04.2014
Autor: fred97


> Danke für die liebe Begrüßung, fühle mich sehr wohl bei
> euch hier im Forum und mir gefällt, dass hier so viele
> engagierte Leute mitarbeiten :-)!
>  
> mein neues Ergebnis:
>  
> [mm]\integral1/(x^2+3x+7)=[/mm]
>  
> NR.:
> [mm]x^2+3x+7=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{19}{4}=(x+\frac{3}{2})^2+(\bruch{\wurzel{19}}{2})^2=\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} })+1)=\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} })^2+1=[/mm]
>
> nun habe ich [mm]\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} }[/mm]
> mit u substituiert
>  
> [mm]u=2*\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\wurzel19}=\bruch{2x+3}{\wurzel19}=\bruch{1}{\wurzel{19}}*(2x+3)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{du}{dx}= \bruch{1}{\wurzel{19} }*2= \bruch{2}{ \wurzel{19} }[/mm]
> --> [mm]dx=\bruch{du*\wurzel{19} }{2}[/mm]
>  
> [mm]\integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+\bruch{19}{4}}=\integral\bruch{1}{(x+\bruch{3}{2})^2+(\bruch{ \wurzel{19}}{2})^2}=\integral\bruch{1}{\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} }+1)= }=\integral \bruch{1}{ \bruch{19}{4}*[( \bruch{x+ \bruch{3}{2} }{ \bruch{ \wurzel{19}}{2} } )^2+1] }= \bruch{4}{19}*\integral \bruch{1}{u^2+1}*\bruch{du* \wurzel{19} }{2}=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{4}{19}* \bruch{\wurzel{19} }{2}* \bruch{1}{u^2+1}*du= 2*\bruch{\wurzel{19} }{19}* \integral\bruch{1}{u^2+1}*du=2*\bruch{1}{\wurzel{19}}*arctan(u)= \bruch{2}{ \wurzel{19}}*arctan(\bruch{(x+\bruch{3}{2})}{\bruch{ \wurzel{19}}{2}})+c[/mm]

Das passt !

FRED
>
> Liebe Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 Do 17.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo Marie,


> Danke für die liebe Begrüßung, fühle mich sehr wohl bei
> euch hier im Forum und mir gefällt, dass hier so viele
> engagierte Leute mitarbeiten :-)!

Das freut mich zu hören.

Ich füge mal ein paar wichtige Zeichen mit roter Farbe hinzu!

> mein neues Ergebnis:
>  
> [mm]\integral1/(x^2+3x+7)\overset{\red{?}}{=}[/mm]
>  
> NR.:
> [mm]x^2+3x+7=(x+\frac{3}{2})^2+\frac{19}{4}=(x+\frac{3}{2})^2+(\bruch{\wurzel{19}}{2})^2=\bruch{19}{4}*((\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} })+1)=\bruch{19}{4}*\red{\left(}(\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} })^2+1\red{\right)}\overset{\red{?}}{=}[/mm]
>
> nun habe ich [mm]\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\bruch{\wurzel19}{2} }[/mm]
> mit u substituiert
>  
> [mm]u=2*\bruch{(x+\bruch{3}{2}) }{\wurzel19}=\bruch{2x+3}{\wurzel19}=\bruch{1}{\wurzel{19}}*(2x+3)[/mm]
>  
> [mm]\bruch{du}{dx}= \bruch{1}{\wurzel{19} }*2= \bruch{2}{ \wurzel{19} }[/mm]
> --> [mm]dx=\bruch{du*\wurzel{19} }{2}[/mm]
>  
> [mm]\integral\bruch{1\red{dx}}{(x+\bruch{3}{2})^2+\bruch{19}{4}}=\integral\bruch{1\red{dx}}{(x+\bruch{3}{2})^2+(\bruch{ \wurzel{19}}{2})^2}=\integral\bruch{1\red{dx}}{\bruch{19}{4}*(\bruch{(x+\bruch{3}{2})^2 }{\bruch{19}{4} }+1)\overset{\red{?}}{=} }=\integral \bruch{1\red{dx}}{ \bruch{19}{4}*[( \bruch{x+ \bruch{3}{2} }{ \bruch{ \wurzel{19}}{2} } )^2+1] }= \bruch{4}{19}*\integral \bruch{1}{u^2+1}*\bruch{du* \wurzel{19} }{2}=[/mm]
>  
> [mm]\bruch{4}{19}* \bruch{\wurzel{19} }{2}*\red{\int} \bruch{1}{u^2+1}*du= 2*\bruch{\wurzel{19} }{19}* \integral\bruch{1}{u^2+1}*du=2*\bruch{1}{\wurzel{19}}*arctan(u)\red{+C}= \bruch{2}{ \wurzel{19}}*arctan(\bruch{(x+\bruch{3}{2})}{\bruch{ \wurzel{19}}{2}})+c[/mm]
>
> Liebe Grüße

Übrigens setzt man vor $du$ auch kein Multiplikationszeichen.
Das ist soweit was mir spontan beim Rübergucken auffällt.
Alles was mit roter Farbe geschrieben ist habe ich hinzugefügt.
Die ersten zwei Fragezeichen bedeuten nicht beide das Gleiche.
Außerdem schreibst du oft

      [mm] \sqrt{1}9, [/mm]

obwohl du

      [mm] \sqrt{19} [/mm]

meinst.

Setze geschweifte Klammern, dann passiert das nicht. ;-)


Gruß
DieAcht
Bezug
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