matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegralrechnungIntegral
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Integralrechnung" - Integral
Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Integral: Hilfe bei Integral 2^x
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:07 Do 10.04.2014
Autor: Marie886

Aufgabe
[mm] ∫x^2 [/mm] * [mm] 2^x [/mm]

Kann mir bitte jemand dabei helfen das Integral zu lösen? Mein Problem: Ich weiß das die Stammfunktion vpn [mm] 2^x= 2^x/ln2 [/mm] ist. aber ich weiß nicht wie ich das im Integral dann anwenden kann...

Liebe Grüße

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 Do 10.04.2014
Autor: Diophant

Hallo und

[willkommenvh]

> [mm]∫x^2[/mm] * [mm]2^x[/mm]
> Kann mir bitte jemand dabei helfen das Integral zu lösen?

Du meinst

[mm] \int{x^2*2^x dx} [/mm]

> Mein Problem: Ich weiß das die Stammfunktion vpn [mm]2^x= 2^x/ln2[/mm]
> ist.

Ja, völlig richtig (bis auf die Formulierung die Stammfunktion. Es ist eine Stammfunktion, beachte den Unterschied!). [ok]

Und vorneweg: die wirst du auch benötigen.

> aber ich weiß nicht wie ich das im Integral dann
> anwenden kann...

Durch zweimalige partielle Integration. Wenn du diese so ansetzt:

[mm] \int{(u'*v) dx}=u*v-\int{(u*v') dx} [/mm]

dann musst du

[mm] u'=2^x [/mm] sowie

[mm] v=x^2 [/mm]

wählen, damit es klappt.

Jetzt würde ich dich darum bitten, das mal zu probieren und deinen Versuch hier vorzustellen. Üblicherweise halten wir es hier so, dass mit einer Frage verbunden von vorn herein eigene Überlegungen angegeben werden, oder doch wenigstens die in der Schule bzw. im Studium durchgenommenen und damit zur Verfügungstehenden Inhalte. Dabei kommt man dann doch erfahrungsgemäß selbst auf eine Idee, die dann wie gesagt i.a. den Ausgangspunkt eines solchen Threads bilden sollte.

Gruß, Diophant 

 

Bezug
                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:25 Do 10.04.2014
Autor: Marie886

Zuerst mal vielen liebe Dank für die nette Begrüßung!

Habe nun die partielle Integration angewandt und meine Rechenschritte sind folgende:


[mm] \integral x^2 [/mm] * [mm] 2^x [/mm] dx  

die erste partielle Integration
v = [mm] x^2 [/mm]   v´=2x
u´= [mm] 2^x [/mm]   u = [mm] 2^x/ln2 [/mm]

= [mm] 2^x/ln2 [/mm] * [mm] x^2 -\integral 2^x/ln2 [/mm] * 2x dx=
= [mm] 2^x/ln2 [/mm] * [mm] x^2 [/mm] -2 * [mm] \integral 2^x/ [/mm] ln2 * x dx=
die zweite partielle Integration:

g = x         g´= 1
f´= [mm] 2^x/ln2 [/mm]   f = [mm] 2^x/ln2 [/mm] (stimmt f? ansonsten fangen schon da meine Probleme an)

[mm] =2^x/ln2* x^2 [/mm] - 2 * [mm] (2^x/ln2*x -\integral 2^x/ln2*1 [/mm] dx )=

und nun stehe ich auch schon an. ich weiß nicht wie man [mm] 2^x/ln2 [/mm] integieren kann oder integriert man nur [mm] 2^x? [/mm]




Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:45 Do 10.04.2014
Autor: MathePower

Hallo Marie886,


[willkommenmr]


> Zuerst mal vielen liebe Dank für die nette Begrüßung!
>  
> Habe nun die partielle Integration angewandt und meine
> Rechenschritte sind folgende:
>  
>
> [mm]\integral x^2[/mm] * [mm]2^x[/mm] dx  
>
> die erste partielle Integration
> v = [mm]x^2[/mm]   v´=2x
>  u´= [mm]2^x[/mm]   u = [mm]2^x/ln2[/mm]

>

[mm]v=x^{2}, \ v'=2x[/mm]
[mm]u'=2^{x}, \ u=\bruch{1}{\ln\left(2\right)}2^{x}[/mm]

  

> = [mm]2^x/ln2[/mm] * [mm]x^2 -\integral 2^x/ln2[/mm] * 2x dx=
>  = [mm]2^x/ln2[/mm] * [mm]x^2[/mm] -2 * [mm]\integral 2^x/[/mm] ln2 * x dx=


[ok]


>   die zweite partielle Integration:
>  
> g = x         g´= 1
>  f´= [mm]2^x/ln2[/mm]   f = [mm]2^x/ln2[/mm] (stimmt f? ansonsten fangen
> schon da meine Probleme an)

>


Wenn f' nach x integriert wird, erhält man

[mm]f=\blue{\bruch{1}{\ln\left(2\right)}}\bruch{1}{\ln\left(2\right)}*2^{x}[/mm]  


> [mm]=2^x/ln2* x^2[/mm] - 2 * [mm](2^x/ln2*x -\integral 2^x/ln2*1[/mm] dx )=
>
> und nun stehe ich auch schon an. ich weiß nicht wie man
> [mm]2^x/ln2[/mm] integieren kann oder integriert man nur [mm]2^x?[/mm]
>


Es wird nur [mm]2^{x}[/mm]  integriert.
[mm]\bruch{1}{\ln\left(2\right)}[/mm] wird als Konstante mitgeschleppt.

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\ln\left(2\right)} 2^{x}\ dx}=\bruch{1}{\ln\left(2\right)}\integral_{}^{}{ 2^{x}\ dx}[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:22 Fr 11.04.2014
Autor: Marie886

Supi! :-) Vielen Dank für eure Hilfe!

Habe das Bsp. nun gerechnet:


>  1.Partielle Integration:

> [mm]v=x^{2}, \ v'=2x[/mm]
>  [mm]u'=2^{x}, \ u=\bruch{1}{\ln\left(2\right)}2^{x}[/mm]


[mm] \integral x^2 [/mm] * [mm] 2^x [/mm] dx =

= [mm] 2^x/ln(2) [/mm] * [mm] x^2 [/mm] - [mm] \integral 2^x/ln(2) [/mm] *2x dx=
= [mm] 2^x/ln(2) [/mm] * [mm] x^2 [/mm] - 2* [mm] \integral 2^x/ln(2) [/mm] * x dx=

2. Partielle Integration:  

v = x   v´= 1
u´= [mm] 2^x/ln(2) [/mm]   u = 1/ln(2) * [mm] 2^x/ln(2) [/mm]


= [mm] 2^x/ln(2) [/mm] * [mm] x^2 [/mm] - [mm] 2*[2^x/ln(2) [/mm] * 1/ln(2) * x - [mm] \integral [/mm] 1/ln(2) * [mm] 2^x/ln(2) [/mm] * 1dx]=
= [mm] 2^x/ln(2) [/mm] * [mm] x^2 [/mm] - [mm] 2*[2^x/ln(2) [/mm] * 1/ln(2) * x - ( 1/ln(2) * (1/ln(2) * [mm] 2^x/ln(2) [/mm] )]+ c
= [mm] 2^x/ln(2) [/mm] * [mm] x^2 [/mm] - 2 * ( [mm] 2^x/(ln(2))^2 [/mm] * x - [mm] 2^x/(ln(2))^3 [/mm] ) + c =
= [mm] 2^x [/mm] * [mm] x^2/ln(2) [/mm] - [mm] [2^x [/mm] * [mm] 2x/(ln(2))^2 [/mm] - [mm] 2^x [/mm] * [mm] 2/(ln(2))^3] [/mm] + c =
= [mm] 2^x [/mm] * [mm] x^2/ln(2) [/mm] - [mm] 2^x [/mm] * [mm] 2x/(ln(2))^2 [/mm] + [mm] 2^x [/mm] * [mm] 2/(ln(2))^3 [/mm] + c =

Brucherweiterung bzw. auf den gleichen Nenner bringen:

[mm] 2^x [/mm] * [mm] x^2 [/mm] * [mm] (ln(2))^2/(ln(2))^3 [/mm] - [mm] 2^x [/mm] * 2x * [mm] ln(2)/(ln(2))^3 [/mm] + [mm] 2^x [/mm] * [mm] 2/(ln(2))^3 [/mm] + c =

zum Schluss noch [mm] 2^x [/mm] herausheben:

= [mm] 2^x [/mm] * [(x * [mm] (ln(2))^2) [/mm] - 2x * ln(2) + 2] + c/ [mm] (ln(2))^3 [/mm]

Ich hoffe ich habe keine Fehler mehr reingebaut. Ansonsten melden!

Liebe Grüße :-)

> [willkommenmr]
>  
>
> > Zuerst mal vielen liebe Dank für die nette Begrüßung!
>  >  
> > Habe nun die partielle Integration angewandt und meine
> > Rechenschritte sind folgende:
>  >  
> >
> > [mm]\integral x^2[/mm] * [mm]2^x[/mm] dx  
> >
> > die erste partielle Integration
> > v = [mm]x^2[/mm]   v´=2x
>  >  u´= [mm]2^x[/mm]   u = [mm]2^x/ln2[/mm]
>  >
>  
> [mm]v=x^{2}, \ v'=2x[/mm]
>  [mm] u'=2^{x}, [/mm] \ [mm] u=\bruch{1}{\ln\left(2\right)}2^{x}[/mm] [/mm]
>  
>
> > = [mm]2^x/ln2[/mm] * [mm]x^2 -\integral 2^x/ln2[/mm] * 2x dx=
>  >  = [mm]2^x/ln2[/mm] * [mm]x^2[/mm] -2 * [mm]\integral 2^x/[/mm] ln2 * x dx=
>  
>
> [ok]
>  
>
> >   die zweite partielle Integration:

>  >  
> > g = x         g´= 1
>  >  f´= [mm]2^x/ln2[/mm]   f = [mm]2^x/ln2[/mm] (stimmt f? ansonsten fangen
> > schon da meine Probleme an)
>  >
>  
>
> Wenn f' nach x integriert wird, erhält man
>  
> [mm]f=\blue{\bruch{1}{\ln\left(2\right)}}\bruch{1}{\ln\left(2\right)}*2^{x}[/mm]
>  
>
>
> > [mm]=2^x/ln2* x^2[/mm] - 2 * [mm](2^x/ln2*x -\integral 2^x/ln2*1[/mm] dx )=
> >
> > und nun stehe ich auch schon an. ich weiß nicht wie man
> > [mm]2^x/ln2[/mm] integieren kann oder integriert man nur [mm]2^x?[/mm]
>  >

>
>
> Es wird nur [mm]2^{x}[/mm]  integriert.
>  [mm]\bruch{1}{\ln\left(2\right)}[/mm] wird als Konstante
> mitgeschleppt.
>  
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\ln\left(2\right)} 2^{x}\ dx}=\bruch{1}{\ln\left(2\right)}\integral_{}^{}{ 2^{x}\ dx}[/mm]
>  
>
> Gruss
>  MathePower


Bezug
                                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:44 Fr 11.04.2014
Autor: Diophant

Hallo,

leider funktioniert bei mir gerade die Zitierfunktion mal wieder nicht.

Dein Ergebnis ist richtig bis auf den ersten Summanden, wo du am x das Quadrat vergessen oder aus Versehen Klammern falsch gesetzt hast.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                
Bezug
Integral: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:58 Fr 11.04.2014
Autor: Marie886

danke für den Hinweis- müsste ausgebessert sein. Ansonsten habe ich das handgerechnete Bsp. fotografiert und stell es soeben online (zur besseren Übersicht)

1.Partielle Integration:

> $ [mm] v=x^{2}, [/mm] \ v'=2x $
>  $ [mm] u'=2^{x}, [/mm] \ [mm] u=\bruch{1}{\ln\left(2\right)}2^{x} [/mm] $


$ [mm] \integral x^2 [/mm] $ * $ [mm] 2^x [/mm] $ dx =

= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ - $ [mm] \integral 2^x/ln(2) [/mm] $ *2x dx=
= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ - 2* $ [mm] \integral 2^x/ln(2) [/mm] $ * x dx=

2. Partielle Integration:  

v = x   v´= 1
u´= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $   u = 1/ln(2) * $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $


= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ - $ [mm] 2\cdot{}[2^x/ln(2) [/mm] $ * 1/ln(2) * x - $ [mm] \integral [/mm] $ 1/ln(2) * $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * 1dx]=
= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ - $ [mm] 2\cdot{}[2^x/ln(2) [/mm] $ * 1/ln(2) * x - ( 1/ln(2) * (1/ln(2) * $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ )]+ c
= $ [mm] 2^x/ln(2) [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ - 2 * ( $ [mm] 2^x/(ln(2))^2 [/mm] $ * x - $ [mm] 2^x/(ln(2))^3 [/mm] $ ) + c =
= $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] x^2/ln(2) [/mm] $ - $ [mm] [2^x [/mm] $ * $ [mm] 2x/(ln(2))^2 [/mm] $ - $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] 2/(ln(2))^3] [/mm] $ + c =
= $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] x^2/ln(2) [/mm] $ - $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] 2x/(ln(2))^2 [/mm] $ + $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] 2/(ln(2))^3 [/mm] $ + c =

Brucherweiterung bzw. auf den gleichen Nenner bringen:

$ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] x^2 [/mm] $ * $ [mm] (ln(2))^2/(ln(2))^3 [/mm] $ - $ [mm] 2^x [/mm] $ * 2x * $ [mm] ln(2)/(ln(2))^3 [/mm] $ + $ [mm] 2^x [/mm] $ * $ [mm] 2/(ln(2))^3 [/mm] $ + c =

zum Schluss noch $ [mm] 2^x [/mm] $ herausheben:

= $ [mm] 2^x [/mm] $ * [(x * $ [mm] ln(2))^2 [/mm] $ - 2x * ln(2) + 2] + c/ $ [mm] (ln(2))^3 [/mm] $


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integralrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]