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Integral: Übung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Mo 27.01.2014
Autor: capri

Aufgabe
Bestimmen Sie die unbestimmten Integrale.

[mm] \integral \bruch{1}{1+e^x} [/mm]

Hallo habe mal ne kurze Frage zu dieser Aufgabe.
Wenn ich t = [mm] 1+e^x [/mm] substituiere.
dann ist [mm] \bruch{dt}{dx} [/mm] = [mm] e^x [/mm] dann ist [mm] dx=\bruch{dt}{e^x} [/mm]

dann habe ich: [mm] \bruch{1}{t} [/mm] * [mm] \bruch{dt}{e^x} [/mm]

aber da t= [mm] 1+e^x [/mm] ist, ist [mm] e^x=t-1 [/mm] daraus folgt, dass

[mm] \bruch{1}{t} [/mm] * [mm] \bruch{dt}{(t-1)} [/mm] stimmt das bis hierhin?

LG


        
Bezug
Integral: soweit richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mo 27.01.2014
Autor: Roadrunner

Hallo capri!


> [mm]\bruch{1}{t}[/mm] * [mm]\bruch{dt}{(t-1)}[/mm]
> stimmt das bis hierhin?

[daumenhoch] Nun weiter mit MBPArtialbruchzerlegung.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Integral: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Mo 27.01.2014
Autor: capri

hallo habe die PBZ gemacht und habe:

[mm] \integral \bruch{-1}{t}+\bruch{1}{t-1} [/mm] =

-log(t)+log(1-t)+C

[mm] -log(1+e^x)+log() [/mm]

ja beim zweiten weiß ich den log nicht falls es bis hierhin richtig ist

[mm] log(1-1+e^x)? [/mm] also [mm] log(e^x)? [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Integral: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Mo 27.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> hallo habe die PBZ gemacht und habe:
>  
> [mm]\integral \bruch{-1}{t}+\bruch{1}{t-1}[/mm] =

Deine Partialbruchzerlegung ist richtig, aber du meinst folgendes Integral:

      [mm] \integral -\bruch{1}{t}+\bruch{1}{t-1}dx [/mm]

> -log(t)+log(1-t)+C

Nein, es gilt:

      [mm] \integral \bruch{1}{t-1}dx=\log(t-1)+C [/mm]

> [mm]-log(1+e^x)+log()[/mm]
>  
> ja beim zweiten weiß ich den log nicht falls es bis
> hierhin richtig ist
>  
> [mm]log(1-1+e^x)?[/mm] also [mm]log(e^x)?[/mm]  

Obwohl du oben das falsche Integral berechnest hast,
hast du durch einen erneuten Fehler es richtig gemacht :-)

Es gilt:

      $a-(b+c)=a-b-c$ für alle [mm] a,b,c\in\IR [/mm]

Zu deiner Aufgabe:

      [mm] -\log(t)+\log(t-1) [/mm]

      [mm] \Rightarrow -\log(1+e^x)+\log(1+e^x-1)=-\log(1+e^x)+\log(e^x)=x-\log(1+e^x) [/mm]

      [mm] \Rightarrow \integral{\frac{1}{1+e^x} dx}=x-\log(1+e^x)+C [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
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