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Forum "Mengenlehre" - Infimum
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Infimum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:45 Di 24.05.2016
Autor: Mathe-Lily

Aufgabe
Bestimmen Sie das Infimum der Menge C:= [mm] \{ \bruch{\sqrt{x+y}}{xy}: x,y \in \IR, x,y \ge 1 \} \subset \IR. [/mm]

Hallo!

Das ist eine Übungsaufgabe in einem Buch und dazu gibt es an sich auch eine Lösung, aber ich verstehe einen Zwischenschritt nicht. Daher beschreibe ich mal den Lösungsweg:

0 ist eine untere Schranke von C, nun soll gezeigt werden, dass es auch ein Infimum ist:
Sei dazu 0 < d < 1. Nun soll 0 + d [mm] \le \bruch{\sqrt{x+y}}{xy} [/mm] zum Widerspruch geführt werden.
Dafür wird angenommen, dass x = y = [mm] \bruch{2}{d^2} [/mm] > 1
Dies wird eingesetzt und es ergibt sich:
d < [mm] \bruch{d^3}{2} [/mm] < [mm] d^3 [/mm] < d
Dies ist ein Widerspruch und daher ist 0 Infimum.

Mir ist nicht klar, wie man auf x = y = [mm] \bruch{2}{d^2} [/mm] kommt!
Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Das wäre super!

Liebe Grüße, Lily

        
Bezug
Infimum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:00 Di 24.05.2016
Autor: fred97


> Bestimmen Sie das Infimum der Menge C:= [mm]\{ \bruch{\sqrt{x+y}}{xy}: x,y \in \IR, x,y \ge 1 \} \subset \IR.[/mm]
>  
> Hallo!
>  
> Das ist eine Übungsaufgabe in einem Buch und dazu gibt es
> an sich auch eine Lösung, aber ich verstehe einen
> Zwischenschritt nicht. Daher beschreibe ich mal den
> Lösungsweg:
>  
> 0 ist eine untere Schranke von C, nun soll gezeigt werden,
> dass es auch ein Infimum ist:
>  Sei dazu 0 < d < 1. Nun soll 0 + d [mm]\le \bruch{\sqrt{x+y}}{xy}[/mm]
> zum Widerspruch geführt werden.
>  Dafür wird angenommen, dass x = y = [mm]\bruch{2}{d^2}[/mm] > 1

>  Dies wird eingesetzt und es ergibt sich:
>  d < [mm]\bruch{d^3}{2}[/mm] < [mm]d^3[/mm] < d
>  Dies ist ein Widerspruch und daher ist 0 Infimum.
>  
> Mir ist nicht klar, wie man auf x = y = [mm]\bruch{2}{d^2}[/mm]
> kommt!

Da muss man ein wenig tüfteln.

Zunächst versucht man sich das Leben angenehmer zu machen, indem man sich den Ausdruck [mm] \bruch{\sqrt{x+y}}{xy} [/mm]  für x=y anschaut.

Man hat also angenommen, es gäbe ein d mit 0<d<1 und

    d $ [mm] \le \bruch{\sqrt{x+y}}{xy} [/mm] $  für alle x,y mit x,y [mm] \ge [/mm] 1

Mit x=y wird daraus

   d $ [mm] \le \bruch{\sqrt{2x}}{x^2} [/mm] $  für alle x [mm] \ge [/mm] 1.

Nun sucht man nach x [mm] \ge [/mm] 1, so, dass [mm] \bruch{\sqrt{2x}}{x^2}
Damit hat man einen Widerspruch.

FRED

    

>  Kann mir da jemand einen Tipp geben?
>  Das wäre super!
>  
> Liebe Grüße, Lily


Bezug
                
Bezug
Infimum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:07 Di 24.05.2016
Autor: Mathe-Lily

Achso, das macht Sinn! Vielen Dank :-)

Bezug
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