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(Question) answered  | | Date: | 22:08 Mo 16/07/2012 | | Author: | Trikolon |
| Aufgabe | Beweise mit Induktion:
[mm] \bruch{1}{3} n^3 [/mm] < [mm] \summe_{k=1}^{n} k^2 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also:
IA: n=1
1/3 < 1 ist klar.
IV: Die Behauptung sei bereits für ein n [mm] \in [/mm] IN gezeigt
IS : n--> n+1
An dieser Stelle hänge ich, im muss doch zeigen, dass 1/3 [mm] (n+1)^3 [/mm] < [mm] \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] ist. Irgendwie kriege ich es nicht hin, diese Ungleichung zu zeigen, wäre nett, wenn jemand helfen könnte.
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Moin!
> Beweise mit Induktion:
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> [mm]\bruch{1}{3} n^3[/mm] < [mm]\summe_{k=1}^{n} k^2[/mm]
> Ich habe diese
> Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Also:
> IA: n=1
> 1/3 < 1 ist klar.
>
> IV: Die Behauptung sei bereits für ein n [mm]\in[/mm] IN gezeigt
>
> IS : n--> n+1
>
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> An dieser Stelle hänge ich, im muss doch zeigen, dass 1/3
> [mm](n+1)^3[/mm] < [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^2[/mm] ist. Irgendwie kriege ich
> es nicht hin, diese Ungleichung zu zeigen, wäre nett, wenn
> jemand helfen könnte.
Um die Summe rechterhand auf [mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^2[/mm] zu kriegen, benötigst du einen weiteren Summanden, nämlich:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1} k^2 = \summe_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2[/mm]
Also
$ [mm] \frac{1}{3}n^3+ (n+1)^2 \le \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] $
$ [mm] \frac{1}{3}n^3+ n^2 [/mm] +2n + 1 [mm] \le \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] $
$ [mm] \frac{1}{3}n^3+ n^2 [/mm] +n + 1 < [mm] \frac{1}{3}n^3+ n^2 [/mm] +2n + 1 [mm] \le \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] $
$ [mm] \frac{1}{3}(n+1)^3 [/mm] < [mm] \frac{1}{3}n^3+ n^2 [/mm] +2n + 1 [mm] \le \summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] $
Also gilt die Aussage für alle $ n [mm] \in \IN [/mm] $.
Falls nicht sofort klar ist, warum ich nach unten abeschätzt habe, ein Hinweis: multipliziere $ [mm] \frac{1}{3}(n+1)^3 [/mm] $ aus.
Viele Grüße
ChopSuey
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