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Forum "Stetigkeit" - ε − δ-Kriterium der Stetigkeit
ε − δ-Kriterium der Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ε − δ-Kriterium der Stetigkeit: Hilfe bei der Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 Mo 14.12.2015
Autor: rsprsp

Aufgabe
Zeigen Sie mit dem ε − δ-Kriterium der Stetigkeit, dass die Funktion f : [mm] \IR [/mm] → [mm] \IR [/mm] mit

f(x) = [mm] \wurzel{x^2+1} [/mm]

in [mm] x_0 [/mm] = 0 stetig ist. Weisen Sie dazu zuerst nach, dass die Ungleichung √
[mm] \wurzel{x^2+1}− [/mm] 1 ≤ [mm] \wurzel{x^2} [/mm] für alle x ∈ [mm] \IR [/mm] gilt.

Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?

        
Bezug
ε − δ-Kriterium der Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:54 Mo 14.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

was ist denn das Kriterium? Was ist zu zeigen?
Wenn du das hingeschrieben hast, erweitere geeignet um die dritte binomische Formel anwenden zu können.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
ε − δ-Kriterium der Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:30 Di 15.12.2015
Autor: fred97


> Zeigen Sie mit dem ε − δ-Kriterium der Stetigkeit, dass
> die Funktion f : [mm]\IR[/mm] → [mm]\IR[/mm] mit
>  
> f(x) = [mm]\wurzel{x^2+1}[/mm]
>  
> in [mm]x_0[/mm] = 0 stetig ist. Weisen Sie dazu zuerst nach, dass
> die Ungleichung √
>  [mm]\wurzel{x^2+1}−[/mm] 1 ≤ [mm]\wurzel{x^2}[/mm] für alle x ∈ [mm]\IR[/mm]

Da ist ein "-" verloren gegangen:

      [mm] $\wurzel{x^2+1}-1 \le \wurzel{x^2}$ [/mm]


> gilt.
>  Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?

Es geht auch ohne die 3. bin. Formel:

1. Wegen f(x) [mm] \ge [/mm] 1 für alle x ist

  [mm] $|f(x)-f(0)|=\wurzel{x^2+1}-1$ [/mm]

2. Ist   [mm] $\wurzel{x^2+1}-1 \le \wurzel{x^2}$ [/mm] gezeigt, so hat man, wegen [mm] $\wurzel{x^2}=|x|$ [/mm] ,

    [mm] $|f(x)-f(0)|\le [/mm] |x|=|x-0|$.

3. Die Ungl. [mm] $\wurzel{x^2+1}-1 \le [/mm] |x|$ ist gleichbedeutend mit

      [mm] $\wurzel{x^2+1} \le [/mm] |x|+1$.

FRED


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