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Implizite Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:04 Do 22.01.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
Gegeben:
[mm] y'=\pmat{ 0 & 2 & -1\\ 0 & -300 & 0\\ 0 & -598 & -1 }y, y(0)=\vektor{2 \\ 5 \\11} [/mm]
Benutze zur numerischen Lösung die implizite Trapezregel [mm] y_{n+1}=y_n+h/2(f_{n+1}+f_n) [/mm] und leite eine explizite Darstellung der Iterierten [mm] y_n [/mm] her.

Hallo,

mir ist nicht ganz klar, wie ich die Trapezregel auf das AWP anwenden soll. Ich wollte zunächst versuchen, ein paar Werte auszurechnen:

[mm] y_1=y_0+h/2(f_1+f_0). [/mm]

Mein Problem: Was ist [mm] f_1 [/mm] und was [mm] f_0?? [/mm]

Danke im Voraus!

        
Bezug
Implizite Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:51 Fr 23.01.2015
Autor: fred97


> Gegeben:
>  [mm]y'=\pmat{ 0 & 2 & -1\\ 0 & -300 & 0\\ 0 & -598 & -1 }y, y(0)=\vektor{2 \\ 5 \\11}[/mm]
>  
> Benutze zur numerischen Lösung die implizite Trapezregel
> [mm]y_{n+1}=y_n+h/2(f_{n+1}+f_n)[/mm] und leite eine explizite
> Darstellung der Iterierten [mm]y_n[/mm] her.
>  Hallo,
>  
> mir ist nicht ganz klar, wie ich die Trapezregel auf das
> AWP anwenden soll. Ich wollte zunächst versuchen, ein paar
> Werte auszurechnen:
>  
> [mm]y_1=y_0+h/2(f_1+f_0).[/mm]
>  
> Mein Problem: Was ist [mm]f_1[/mm] und was [mm]f_0??[/mm]

Es ist

    [mm] $f_n [/mm] := [mm] f(t_n,y_n). [/mm] $

FRED

>  
> Danke im Voraus!


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Implizite Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 Fr 23.01.2015
Autor: Trikolon

Also so:
[mm] y_1= \vektor{2 \\ 5 \\11} +h/2(\pmat{ 0 & 2 & -1\\ 0 & -300 & 0\\ 0 & -598 & -1 }y_1+\vektor{-1\\ 1500 \\-3001}) [/mm]
?
Oh je, ob man da für [mm] y_n [/mm] eine Formel erkennt..

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Implizite Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:53 Fr 23.01.2015
Autor: leduart

Hallo
[mm] y_1=y_0+h/2*A*y_1+h/2*A*y_0 [/mm]
schreibe [mm] y_1=E*y_1 [/mm] und löse nach [mm] y_1 [/mm] auf
dann schreib so allgemein [mm] y_2 [/mm] auf und lös wieder auf
Gruss leduart


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Implizite Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:24 Fr 23.01.2015
Autor: Trikolon

[mm] y_1=y_0+h/2\cdot{}A\cdot{}y_1+h/2\cdot{}A\cdot{}y_0 [/mm]

--> [mm] y_1-h/2Ay_1=y_0+h/2Ay_0 [/mm] --> [mm] y_1(E-h/2A)=y_0+h/2Ay_0 [/mm]
Und nun?

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Implizite Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:44 Fr 23.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,

>  [mm]y_1=y_0+h/2\cdot{}A\cdot{}y_1+h/2\cdot{}A\cdot{}y_0[/mm]
>
> --> [mm]y_1-h/2Ay_1=y_0+h/2Ay_0[/mm] --> [mm]y_1(E-h/2A)=y_0+h/2Ay_0[/mm]
> Und nun?


Das muss doch so lauten:

[mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)y_{1}=\left(E+\bruch{h}{2}A\right)y_{0}[/mm]

Multipliziere jetzt mit der Inversen von [mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)[/mm].


Gruss
MathePower

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Implizite Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:07 Fr 23.01.2015
Autor: Trikolon

[mm] y_{1}=(\left(E+\bruch{h}{2}A\right)y_{0}) \left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1} [/mm]

Kann man das noch vereinfachen?

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Implizite Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 Sa 24.01.2015
Autor: leduart

Hallo
spannend wirds erst wenn du weitermachst
Gruß leduart

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Implizite Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:12 Sa 24.01.2015
Autor: Trikolon

Genau das bin ich mir ja nicht sicher.  Wie vereinfacht man das?

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Implizite Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:27 Sa 24.01.2015
Autor: meili

Hallo,

Besser [mm] $y_0 [/mm] = [mm] \left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}*\left(E+\bruch{h}{2}A\right)y_0$, [/mm]

da Matrixmultiplikation nicht zwingend kommutativ ist.

[mm] $E-\bruch{h}{2}A$ [/mm] kannst du in Abhänigkeit von h konkret hinschreiben,
und dann invertierten.
Dann noch mit [mm] $E+\bruch{h}{2}A$ [/mm] multiplizieren.

So bekommst du eine Matrix B abhängig von h heraus mit [mm] $y_1 [/mm] = [mm] By_0$, [/mm]
oder auch [mm] $y_{n+1} [/mm] = [mm] By_n$. [/mm]

Gruß
meili

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Implizite Trapezregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:25 Sa 24.01.2015
Autor: Trikolon

Ohje, davon die Inverse ausrechnen macht richtig Spaß...

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Implizite Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:52 So 25.01.2015
Autor: Trikolon

Nach ewiger Rechnerei hab ich das hier raus:

[mm] \left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}=\pmat{ 1 & \bruch{h}{1+150h} & \bruch{300h^2+2h}{2(301h+2+150h^2)} \\ 0 & \bruch{1}{1+150h} & 0\\ 0 & \bruch{-598h}{301h+2+150h^2} & \bruch{300h+2}{301h+2+150h^2}} [/mm]

Stimmt das? Ist dieser Weg wirklich zielführend?

Bezug
                                                                                        
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Implizite Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 So 25.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,



> Nach ewiger Rechnerei hab ich das hier raus:
>
> [mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}=\pmat{ 1 & \bruch{h}{1+150h} & \bruch{300h^2+2h}{2(301h+2+150h^2)} \\ 0 & \bruch{1}{1+150h} & 0\\ 0 & \bruch{-598h}{301h+2+150h^2} & \bruch{300h+2}{301h+2+150h^2}}[/mm]
>  


Das 2. Element in der 1.Zeile stimmt nicht.

Das 3. Element in der 1.Zeile lässt sich
noch eleganter schrieben und  ist
vorzeichenbehaftet.


> Stimmt das? Ist dieser Weg wirklich zielführend?


Gruss
MathePower

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Implizite Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:30 Mo 26.01.2015
Autor: Trikolon

[mm] \left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}=\pmat{ 1 & \bruch{298h^2-2h}{2+301h+150h^2} & \bruch{300h^2+2h}{2(301h+2+150h^2)} \\ 0 & \bruch{1}{1+150h} & 0\\ 0 & \bruch{-598h}{301h+2+150h^2} & \bruch{2}{2+h}} [/mm]  

So besser?

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Implizite Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:19 Di 27.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> [mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}=\pmat{ 1 & \bruch{298h^2-2h}{2+301h+150h^2} & \bruch{300h^2+2h}{2(301h+2+150h^2)} \\ 0 & \bruch{1}{1+150h} & 0\\ 0 & \bruch{-598h}{301h+2+150h^2} & \bruch{2}{2+h}}[/mm]

Schon mal ausprobiert [mm] $\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}\left(E-\bruch{h}{2}A\right) [/mm] = E$?

>  
>
> So besser?

Besser ja, aber noch nicht richtig.

Die erste Zeile müsste [mm] $\qquad 1\qquad \bruch{2h}{2+h} \qquad -\bruch{h}{2+h} \qquad$ [/mm] sein.

Der 3. Ausdruck in der ersten Zeile lässt sich dazu kürzen,
aber das Minuszeichen fehlt trotzdem.

Gruß
meili


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Implizite Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:17 Di 27.01.2015
Autor: Trikolon

Aber im zweiten Faktor muss doch E+h/2A stehen. Und dann kommt bei mir nicht die Einheitsmatrix raus.

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Implizite Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:50 Mi 28.01.2015
Autor: meili

Hallo,

> Aber im zweiten Faktor muss doch E+h/2A stehen. Und dann
> kommt bei mir nicht die Einheitsmatrix raus.

Das ist richtig für die Berechnung der Matrix B mit [mm] $y_{n+1} [/mm] = [mm] By_n$. [/mm]


[mm] $\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}*\left(E-\bruch{h}{2}A\right) [/mm] = E$
ist nur um zu testen ob, die Inverse stimmt.

Gruß
meili


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Implizite Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Mi 28.01.2015
Autor: Trikolon

[mm] \left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}\cdot{}\left(E+\bruch{h}{2}A\right) [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & \bruch{2h+2}{2+h} & \bruch{-h}{h+2} \\ 0 & \bruch{1-150h}{1+150h} & 0 \\ 0 & \bruch{-1196}{(h+2)1+150h)} & \bruch{2-2h}{2+h}} [/mm]

Ist das so ok? Aber wenn ich das jetzt mit [mm] y_0 [/mm] multipliziere, fällt mir nix besonders auf...

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Implizite Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Mi 28.01.2015
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,

>
> [mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}\cdot{}\left(E+\bruch{h}{2}A\right)[/mm]
> = [mm]\pmat{ 1 & \bruch{2h+2}{2+h} & \bruch{-h}{h+2} \\ 0 & \bruch{1-150h}{1+150h} & 0 \\ 0 & \bruch{-1196}{(h+2)1+150h)} & \bruch{2-2h}{2+h}}[/mm]
>  


Die ausmultiplizierte Matrix muss doch so lauten:

[mm]\left(E-\bruch{h}{2}A\right)^{-1}\cdot{}\left(E+\bruch{h}{2}A\right) = \pmat{ 1 & \bruch{\blue{4h}}{2+h} & \bruch{-h}{h+2} \\ 0 & \bruch{1-150h}{1+150h} & 0 \\ 0 & \bruch{-1196}{(h+2)1+150h)} & \bruch{2-\blue{h}}{2+h}}[/mm]


> Ist das so ok? Aber wenn ich das jetzt mit [mm]y_0[/mm]
> multipliziere, fällt mir nix besonders auf...


Gruss
MathePower

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Bezug
Implizite Trapezregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Mi 28.01.2015
Autor: Trikolon

Multipliziert mit [mm] y_0 [/mm] erhalte ich
[mm] y_1=\vektor{\bruch{2h-5}{h+2} \\ \bruch{5(1-150h)}{1+150h} \\ \bruch{-1650h^2+3289h-5958}{(h+2)(1+150h)}} [/mm]

Und nun?

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Implizite Trapezregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:02 Do 29.01.2015
Autor: meili

Hallo,

nach Aufgabenstellung sollst du eine explizite Darstellung für [mm] $y_n$ [/mm] angeben.

Mit

[mm] $y_n [/mm] = [mm] \pmat{1 & \bruch{4h}{2+h} & -\bruch{2h}{2+h} \\0 & \bruch{1-150h}{1+150h} & 0 \\ 0 & -\bruch{1196h}{(1+150h)(2+h)} & \bruch{2-h}{2+h}}y_{n-1}$ [/mm]    $n [mm] \ge [/mm] 1$

bzw.


[mm] $y_n [/mm] = [mm] \pmat{1 & \bruch{4h}{2+h} & -\bruch{2h}{2+h} \\0 & \bruch{1-150h}{1+150h} & 0 \\ 0 & -\bruch{1196h}{(1+150h)(2+h)} & \bruch{2-h}{2+h}}^n *\vektor{2 \\ 5 \\ 11}$ [/mm]    $n [mm] \ge [/mm] 1$

bist du fertig.

Gruß
meili


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