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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Holomorphe Stammfunktion
Holomorphe Stammfunktion < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Holomorphe Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:19 Fr 29.05.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
Zeige dass die Funktion f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC, [/mm] f(z)=|z| keine holomorphe Stammfunktion besitzt.

Hallo,

das Vorgehen ist mir grundsätzlich klar, ich versuche einen geschlossenen Integrationsweg zu finden und zu zeigen, dass das Integral nicht 0 ist.
Allerdings wenn ich einen Kreis [mm] y(t)=a+re^{it} [/mm] verwende, kommt 0 raus. Ich benötige wahrscheinlich einen anderen Integrationsweg. Habt ihr eine Idee?

        
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Holomorphe Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:48 Fr 29.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

was muss denn gelten, wenn eine Funktion F Stammfunktion für eine weitere Funktion f sein soll?

Was weißt du über holomorphe Funktionen?
Wie oft sind diese differenzierbar?

Da brauchst du eigentlich nichts untersuchen, nur kurz nachdenken....

Gruß,
Gono

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Holomorphe Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 Fr 29.05.2015
Autor: Trikolon

Also angenommen es gäbe eine holomorphe Stammfunktion F(z)=u(z)+iv(z).
Dann muss gelten F'(z)=|z|. Mit den Cauchy-R.-DGLen folgt dann [mm] u_x=Re(F'(z))=\wurzel{x^2+y^2}=v_y [/mm] und [mm] -u_y=v_x=Im [/mm] (F'(z))=0.

Stimmt das soweit? Und nun?


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Holomorphe Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:56 Sa 30.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Also angenommen es gäbe eine holomorphe Stammfunktion
>  Dann muss gelten F'(z)=|z|.

den Rest brauchen wir nicht.
Was weißt du über die Ableitung einer holomorphen Funktion. Welche Eigenschaften hat diese?

Gruß,
Gono


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Holomorphe Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:27 Sa 30.05.2015
Autor: Trikolon

Ich habe gerade mal ein bisschen ein einem Buch geblättert und gefunden dass die Ableitung einer holomorphen Fkt. wieder holomorph ist. Allerdings hatten wir diesen Satz in der VL noch nicht... Klappt es mit den Cauchy-R.-DGLen nicht?

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Holomorphe Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:30 Sa 30.05.2015
Autor: fred97


> Ich habe gerade mal ein bisschen ein einem Buch geblättert
> und gefunden dass die Ableitung einer holomorphen Fkt.
> wieder holomorph ist. Allerdings hatten wir diesen Satz in
> der VL noch nicht... Klappt es mit den Cauchy-R.-DGLen
> nicht?

Doch. Mach mal vor.

FRED


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Holomorphe Stammfunktion: mit Cauchy-Riemann
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:36 Sa 30.05.2015
Autor: Trikolon

Ich hatte eine Frage weiter oben schon mal damit begonnen, bin aber stecken geblieben....>

Also angenommen es gäbe eine holomorphe Stammfunktion

> F(z)=u(z)+iv(z).
>  Dann muss gelten F'(z)=|z|. Mit den Cauchy-R.-DGLen folgt
> dann [mm]u_x=Re(F'(z))=\wurzel{x^2+y^2}=v_y[/mm] und [mm]-u_y=v_x=Im[/mm]
> (F'(z))=0.
>  
> Stimmt das soweit? Und nun?
>  


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Holomorphe Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Sa 30.05.2015
Autor: Trikolon

Ist das was ich geschrieben hatte i.O. Ich komme dann aber irgendwie nicht weiter bei den DGLen...

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Holomorphe Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 Mo 01.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein Ansatz stimmt. Führe nun die Aussage:

[mm] $v_x [/mm] = 0, [mm] v_y=\sqrt{x^2+y^2}$ [/mm]

bzw

[mm] $u_x [/mm] = [mm] \sqrt{x^2+y^2}, u_y=0$ [/mm]

zum Widerspruch.

Gruß,
Gono

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Holomorphe Stammfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:10 Di 02.06.2015
Autor: Calculu

Ich mache mal hier weiter:
Wie bereits erwähnt muss gelten:
[mm] u_{x} [/mm] = [mm] v_{y} [/mm]

Es ist aber:
[mm] u_{x} [/mm] = Re(F'(z)) = Re(|z|) = [mm] \sqrt{x^{2}+y^{2}} [/mm]
[mm] v_{y} [/mm] = Im(F‘(z)) = Im(|z|) = 0

Somit ist [mm] u_{x} \not= v_{y}. [/mm]
Also sind die CRDGL nicht erfüllt und F(z) ist somit nicht komplex diffbar.
Reicht das so?

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Holomorphe Stammfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:35 Di 02.06.2015
Autor: fred97


> Ich mache mal hier weiter:
>  Wie bereits erwähnt muss gelten:
>  [mm]u_{x}[/mm] = [mm]v_{y}[/mm]
>  
> Es ist aber:
>  [mm]u_{x}[/mm] = Re(F'(z)) = Re(|z|) = [mm]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/mm]
>  [mm]v_{y}[/mm] = Im(F‘(z)) = Im(|z|) = 0
>  
> Somit ist [mm]u_{x} \not= v_{y}.[/mm]
>  Also sind die CRDGL nicht
> erfüllt und F(z) ist somit nicht komplex diffbar.
>  Reicht das so?


Ja

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Holomorphe Stammfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:44 Di 02.06.2015
Autor: Calculu

Super, danke! :-)

Bezug
                                
Bezug
Holomorphe Stammfunktion: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:20 Mo 01.06.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Holomorphe Stammfunktion: Antwort (fehlerhaft)
Status: (Antwort) fehlerhaft Status 
Datum: 23:01 Fr 29.05.2015
Autor: HJKweseleit

Sorry, hatte eine falsche Idee.
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