matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Komplexe AnalysisHolomorphe Funktionen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Holomorphe Funktionen
Holomorphe Funktionen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Holomorphe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:56 Di 21.07.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
a) Gibt es eine holomorphe Funktion f: {z; |z|<2} --> [mm] \IC [/mm] mit [mm] f(1/n)=\bruch{1}{n^2} exp(\bruch{(-1)^n}{n}) [/mm] für alle n [mm] \in \IN? [/mm]
b) Gibt es eine auf [mm] D_1(0) [/mm] holomorphe Funktion , so dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt [mm] |f^{(n)}(0)| \ge (n!)^2 [/mm]

Hallo,

zu a) Angenommen, es existiert f: [mm] D_2(0) [/mm] --> [mm] \IC [/mm] holomorph mit  [mm] f(1/n)=\bruch{1}{n^2} exp(\bruch{(-1)^n}{n}) [/mm] für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Dann gilt f(z)=z^2exp(z) für z [mm] \in N_1={ \bruch{1}{2n}; n \in \IN} [/mm] und da [mm] N_1 [/mm] einen Häufungspunkt (0) in [mm] D_2(0) [/mm] besitzt folgt mit dem Identitätssatz f(z)=z^2exp(z) für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Betrachtet man [mm] N_2={ \bruch{1}{2n+1}; n \in \IN}, [/mm] so folgt analog [mm] f(z)=z^2 [/mm] exp(-z) für alle z [mm] \in \IC. [/mm] --> Widerspruch

zu b) hier weiß ich nicht wirklich weiter, wenn dort ein = stehen würde, wäre es mir klar, dann existiert keine solche Fkt, da [mm] f^{(n)}(0)/n! [/mm] Konvergenzradius 0 hat...

        
Bezug
Holomorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:17 Di 21.07.2015
Autor: HJKweseleit

Wenn die Fkt. auf [mm] D_1(0) [/mm] holomorph ist, hat sie innerhalb des Kreises keine Singularität. Sie ist - da analytisch - in eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius [mm] \ge [/mm] 1 entwickelbar.

Die Koeffizienten dieser Entwicklung um 0 findet man als [mm] a_n=\bruch{f^{(n)}(0)}{n!} \Rightarrow |a_n|=\bruch{|f^{(n)}(0)|}{n!}\ge [/mm] n! nach Voraussetzung.

Mit Hadamard oder einfacher: mit dem Quotientenkriterium ergibt sich daraus aber ein Konvergenzradius von 0 im Widerspruch zu oben Gesagtem.

Bezug
                
Bezug
Holomorphe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:42 Mi 22.07.2015
Autor: Trikolon

Noch mal zu a) ist das so ok?
und zu b) wovon genau ist da der Konvergenzradius 0?

Bezug
                        
Bezug
Holomorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:57 Mi 22.07.2015
Autor: fred97


> Noch mal zu a) ist das so ok?

Ja


>  und zu b) wovon genau ist da der Konvergenzradius 0?

f ist auf [mm] D_1(0) [/mm] holomorph, es gilt also

(*)   [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm]  für alle z [mm] \in D_1(0). [/mm]

Die Potenzreihe in (*) hat also einen Konvergenzradius R mit R [mm] \ge [/mm] 1.

Nun gilt

  $ [mm] a_n=\bruch{f^{(n)}(0)}{n!}$ [/mm]

also folgt mit der Vor.  $ [mm] |f^{(n)}(0)| \ge (n!)^2 [/mm] $ :

   [mm] $|a_n|=\bruch{|f^{(n)}(0)|}{n!}\ge [/mm] n! $

Mit Cauchy-Hadamard bekommst Du daraus den Widerspruch

   [mm] $R=\bruch{1}{\lim \sup \wurzel[n]{a_n|}}=0$ [/mm]

FRED


Bezug
                                
Bezug
Holomorphe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 Do 23.07.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
Ich hätte noch vier Aufgaben zu diesem Themenbereich:

Untersuche ob es holomorphe Funktionen f [mm] \in O(\Omega) [/mm] mit folgenden Eigenschaften gibt:
a) [mm] \Omega [/mm] = [mm] D_1(0), f(1/n^2)=1/n [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2
b) [mm] \Omega= D_1(0) [/mm] \ (-1,0], f wie in a)
c) [mm] \Omega= \IC, f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2 [/mm]
d) [mm] \Omega= \IC [/mm] \ {0}, f(z)=0 für z [mm] \in [/mm] { [mm] n^2 \pi [/mm] +1999mi: n,m [mm] \in \IZ \{0} [/mm] } und f(z) [mm] \not= [/mm] 0

zu a)
Es ist [mm] U=D_1(0) [/mm] offene Umgebung von 0 und die Fkt f: U --> [mm] \IC, f(z)=z^2 [/mm] ist holomorph mit [mm] f(1/n^2)=1/n [/mm] für alle n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2.

zu b)
Ich vermute hier liegt das Problem darin dass 0 als Häufungspunkt nicht in [mm] \Omega [/mm] liegt... Hab aber nicht wirklich einen Ansatz

zu c)
Angenommen es existiert f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC [/mm] holomorph mit  [mm] f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2. [/mm] Auf der nicht diskreten Menge { 1/(2n), n [mm] \in \IN [/mm] } [mm] \subset \IC [/mm] stimmt f mit der Funktion g: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC [/mm] , [mm] g(z)=4z^2 [/mm] überein, nach dem Identitätssatz ist dann schon f=g für alle z [mm] \in \IC. [/mm] Aber g(1/2)=i [mm] \not= [/mm] h(1/2)=4i Widerspruch

d)
Hier fehlt mir wieder ein Ansatz...


Danke für eure Hilfe!



Bezug
                                        
Bezug
Holomorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:28 Fr 24.07.2015
Autor: fred97


> Ich hätte noch vier Aufgaben zu diesem Themenbereich:
>  
> Untersuche ob es holomorphe Funktionen f [mm]\in O(\Omega)[/mm] mit
> folgenden Eigenschaften gibt:
>  a) [mm]\Omega[/mm] = [mm]D_1(0), f(1/n^2)=1/n[/mm] für alle n [mm]\in \IN,[/mm] n
> [mm]\ge[/mm] 2
>  b) [mm]\Omega= D_1(0)[/mm] \ (-1,0], f wie in a)
>  c) [mm]\Omega= \IC, f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2[/mm]
>  d) [mm]\Omega= \IC[/mm]
> \ {0}, f(z)=0 für z [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

{ [mm]n^2 \pi[/mm] +1999mi: n,m [mm]\in \IZ \{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> } und f(z) [mm]\not=[/mm] 0
>  zu a)
>  Es ist [mm]U=D_1(0)[/mm] offene Umgebung von 0 und die Fkt f: U -->

> [mm]\IC, f(z)=z^2[/mm] ist holomorph mit [mm]f(1/n^2)=1/n[/mm] für alle n
> [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2.

Das stimmt aber nicht ! Für [mm] f(z)=z^2 [/mm] gilt  [mm]f(1/n^2)=1/n^4[/mm]  !!!!


Nimm an, es gäbe eine solch holomorphe Funktion f. Setze [mm] g(z):=f(z^2). [/mm]

Begründe nun, warum g(z)=z  für alle z [mm] \in D_1(0) [/mm] ist.

Differenziere die Gl. g(z)=z und setze z=0. Was passiert ?



>  
> zu b)
>  Ich vermute hier liegt das Problem darin dass 0 als
> Häufungspunkt nicht in [mm]\Omega[/mm] liegt... Hab aber nicht
> wirklich einen Ansatz

Sei Log(z) der Hauptzweig des Logarithmus auf [mm] \IC \setminus (-\infty,0] [/mm] und betachte

  [mm] f(z)=exp(\bruch{1}{2}Log(z)). [/mm]



>  
> zu c)
>  Angenommen es existiert f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] holomorph mit  

> [mm]f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Auf der nicht diskreten Menge {

> 1/(2n), n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} [mm]\subset \IC[/mm] stimmt f mit der Funktion

> g: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] , [mm]g(z)=4z^2[/mm] überein,

Da hast Du Dich wohl verschrieben: es sollte [mm]g(z)=4iz^2[/mm] lauten.

> nach dem
> Identitätssatz ist dann schon f=g für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> Aber g(1/2)=i [mm]\not=[/mm] h(1/2)=4i Widerspruch


Hä ? . Was ist denn h ??

Richtig hast Du heraus: wenn es eine solche hol. Funktion f gäbe, so müsste $f(z)= [mm] 4iz^2$ [/mm] gelten.

Was ist nun mit der Bedingung [mm] f(1/(2n+1))=i/n^2 [/mm]  für n [mm] \in \IN [/mm] ?


>  
> d)
> Hier fehlt mir wieder ein Ansatz...

Hattet Ihr den Produktsatz von Weierstraß ?

FRED

>  
>
> Danke für eure Hilfe!
>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
Holomorphe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Fr 24.07.2015
Autor: Trikolon

zu a)
>  >  Es ist [mm]U=D_1(0)[/mm] offene Umgebung von 0 und die Fkt f: U
> -->
> > [mm]\IC, f(z)=z^2[/mm] ist holomorph mit [mm]f(1/n^2)=1/n[/mm] für alle n
> > [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2.
>  
> Das stimmt aber nicht ! Für [mm]f(z)=z^2[/mm] gilt  [mm]f(1/n^2)=1/n^4[/mm]  
> !!!!
>  
>

Ja klar, hatte es fälschlicherweise für [mm] f(1/n)=1/n^2 [/mm] gemacht ;-)

> Nimm an, es gäbe eine solch holomorphe Funktion f. Setze
> [mm]g(z):=f(z^2).[/mm]
>  
> Begründe nun, warum g(z)=z  für alle z [mm]\in D_1(0)[/mm] ist.
>  
> Differenziere die Gl. g(z)=z und setze z=0. Was passiert ?
>  

g'(z)=1 also g'(0)=1.  Ich sehe aber gerade nicht, wo das hinführt...

>
> >  

> > zu b)
>  >  Ich vermute hier liegt das Problem darin dass 0 als
> > Häufungspunkt nicht in [mm]\Omega[/mm] liegt... Hab aber nicht
> > wirklich einen Ansatz
>  
> Sei Log(z) der Hauptzweig des Logarithmus auf [mm]\IC \setminus (-\infty,0][/mm]
> und betachte
>  
> [mm]f(z)=exp(\bruch{1}{2}Log(z)).[/mm]
>  

Klar, das ist ja gerade eine solche Funktion mit den gewünschten Eigenschaften. Muss man die Wurzel in [mm] \IC [/mm] immer auf diese Weise darstellen also über den log?

> >  

> > zu c)
>  >  Angenommen es existiert f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] holomorph mit  

> > [mm]f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}"

> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Auf der nicht diskreten Menge {
> > 1/(2n), n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer

> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> } [mm]\subset \IC[/mm] stimmt f mit der Funktion
> > g: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] , [mm]g(z)=4z^2[/mm] überein,
>
> Da hast Du Dich wohl verschrieben: es sollte [mm]g(z)=4iz^2[/mm]
> lauten.

Ja

> > nach dem
> > Identitätssatz ist dann schon f=g für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> > Aber g(1/2)=i [mm]\not=[/mm] h(1/2)=4i Widerspruch
>  
>
> Hä ? . Was ist denn h ??
>  
> Richtig hast Du heraus: wenn es eine solche hol. Funktion f
> gäbe, so müsste [mm]f(z)= 4iz^2[/mm] gelten.
>  
> Was ist nun mit der Bedingung [mm]f(1/(2n+1))=i/n^2[/mm]  für n [mm]\in \IN[/mm]
> ?

Das h sollte ein f sein. Das zeigt ja gerade, dass die gefundene Funktion g zwar die erste, aber nicht die zweite Bedingung erfüllt.

>
> >  

> > d)
> > Hier fehlt mir wieder ein Ansatz...
>  
> Hattet Ihr den Produktsatz von Weierstraß ?
>  

Nein, den hatten wir noch nicht.

> FRED
>  >  
> >
> > Danke für eure Hilfe!
>  >  
> >  

>  


Bezug
                                                        
Bezug
Holomorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:04 Fr 24.07.2015
Autor: fred97


> zu a)
>  >  >  Es ist [mm]U=D_1(0)[/mm] offene Umgebung von 0 und die Fkt f:
> U
> > -->
> > > [mm]\IC, f(z)=z^2[/mm] ist holomorph mit [mm]f(1/n^2)=1/n[/mm] für alle n
> > > [mm]\in \IN,[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2.
>  >  
> > Das stimmt aber nicht ! Für [mm]f(z)=z^2[/mm] gilt  [mm]f(1/n^2)=1/n^4[/mm]  
> > !!!!
>  >  
> >
> Ja klar, hatte es fälschlicherweise für [mm]f(1/n)=1/n^2[/mm]
> gemacht ;-)
>  
> > Nimm an, es gäbe eine solch holomorphe Funktion f. Setze
> > [mm]g(z):=f(z^2).[/mm]
>  >  
> > Begründe nun, warum g(z)=z  für alle z [mm]\in D_1(0)[/mm] ist.
>  >  
> > Differenziere die Gl. g(z)=z und setze z=0. Was passiert ?
>  >  
> g'(z)=1 also g'(0)=1.  Ich sehe aber gerade nicht, wo das
> hinführt...

Wenn Du läufst, machst Du dann auch immer nur einen Schritt ...... ?

Es war [mm] g(z)=f(z^2)=z [/mm]

Differenziert man, so bekommt man

    [mm] $1=g'(z)=f'(z^2)*2z$ [/mm]

Für z=0 liefert das 1=0.


>  >

> > >  

> > > zu b)
>  >  >  Ich vermute hier liegt das Problem darin dass 0 als
> > > Häufungspunkt nicht in [mm]\Omega[/mm] liegt... Hab aber nicht
> > > wirklich einen Ansatz
>  >  
> > Sei Log(z) der Hauptzweig des Logarithmus auf [mm]\IC \setminus (-\infty,0][/mm]
> > und betachte
>  >  
> > [mm]f(z)=exp(\bruch{1}{2}Log(z)).[/mm]
>  >  
> Klar, das ist ja gerade eine solche Funktion mit den
> gewünschten Eigenschaften. Muss man die Wurzel in [mm]\IC[/mm]
> immer auf diese Weise darstellen also über den log?

nein, müssen musst Du nichts. Wurzel und Log sind in [mm] \IC [/mm] nicht eindeutig. Man muss sich immer passende Zweige zurechtbasteln.


>  > >  

> > > zu c)
>  >  >  Angenommen es existiert f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] holomorph mit

>  
> > > [mm]f(1/2n)=f(1/(2n+1))=i/n^2.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}"

> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Eingabefehler: "{" und "}"
> > müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> > ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  
> > Auf der nicht diskreten Menge {
> > > 1/(2n), n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer

> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>  >  
> > } [mm]\subset \IC[/mm] stimmt f mit der Funktion
> > > g: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC[/mm] , [mm]g(z)=4z^2[/mm] überein,
> >
> > Da hast Du Dich wohl verschrieben: es sollte [mm]g(z)=4iz^2[/mm]
> > lauten.
>  
> Ja
>  
> > > nach dem
> > > Identitätssatz ist dann schon f=g für alle z [mm]\in \IC.[/mm]
> > > Aber g(1/2)=i [mm]\not=[/mm] h(1/2)=4i Widerspruch
>  >  
> >
> > Hä ? . Was ist denn h ??
>  >  
> > Richtig hast Du heraus: wenn es eine solche hol. Funktion f
> > gäbe, so müsste [mm]f(z)= 4iz^2[/mm] gelten.
>  >  
> > Was ist nun mit der Bedingung [mm]f(1/(2n+1))=i/n^2[/mm]  für n [mm]\in \IN[/mm]
> > ?
>  
> Das h sollte ein f sein. Das zeigt ja gerade, dass die
> gefundene Funktion g zwar die erste, aber nicht die zweite
> Bedingung erfüllt.
>  >

> > >  

> > > d)
> > > Hier fehlt mir wieder ein Ansatz...
>  >  
> > Hattet Ihr den Produktsatz von Weierstraß ?
>  >  
> Nein, den hatten wir noch nicht.

Dann muss ich mir etwas anderes überlegen.

FRED

>  
> > FRED
>  >  >  
> > >
> > > Danke für eure Hilfe!
>  >  >  
> > >  

> >  

>  


Bezug
                                
Bezug
Holomorphe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Fr 24.07.2015
Autor: rollroll

Hallo, dazu habe ich auch mal eine Frage, wenn man z.B. [mm] |f^{(n)}(0)| \ge n!n^n [/mm] hat. Dann würde der Beweis dass es keine solche in einer Umgebung von 0 holomorphe Fkt f gibt doch genauso verlaufen, oder?

Bezug
                                        
Bezug
Holomorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Fr 24.07.2015
Autor: fred97


> Hallo, dazu habe ich auch mal eine Frage, wenn man z.B.
> [mm]|f^{(n)}(0)| \ge n!n^n[/mm] hat. Dann würde der Beweis dass es
> keine solche in einer Umgebung von 0 holomorphe Fkt f gibt
> doch genauso verlaufen, oder?

Ja

FRED


Bezug
                                                
Bezug
Holomorphe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Mi 29.07.2015
Autor: Trikolon

Noch eine Aufgabe aus dieser Reihe, zu der ich keinen  Ansatz finde:

[mm] f^{(n)}(0) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{n^2}} [/mm] für alle n [mm] \in \IN_0 [/mm] und [mm] \limes_{|z|\rightarrow\infty} \bruch{f(z)}{z^m} [/mm] = 0 für ein m [mm] \in \IN_0 [/mm]

Ich habe keine Ahnung, warum die Symbole nicht richtig angezeigt werden...

Bezug
                                                        
Bezug
Holomorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:24 Do 30.07.2015
Autor: fred97


> Noch eine Aufgabe aus dieser Reihe, zu der ich keinen  
> Ansatz finde:
>  
> [mm]f^{(n)}(0)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2^{n^2}}[/mm] für alle n [mm]\in \IN_0[/mm] und
> [mm]\limes_{|z|\rightarrow\infty} \bruch{f(z)}{z^m}[/mm] = 0 für
> ein m [mm]\in \IN_0[/mm]
>  
> Ich habe keine Ahnung, warum die Symbole nicht richtig
> angezeigt werden...

Ich auch nicht.


Mal wieder nehmen wir an, es gäbe ein solches f. Die Voraussetzungen zeigen, dass f eine ganze Funktion ist.

Wir unterscheiden 2 Fälle:

Fall 1: m=0.  Dann haben wir

    [mm] $\limes_{|z|\rightarrow\infty} [/mm] f(z)= 0$.

Zeige nun Du, dass f auf [mm] \IC [/mm] beschränkt ist. Nach Liouville ist also f auf [mm] \IC [/mm] konstant.

Das ist ein Widerspruch ! Zu was ?


Fall 2: m [mm] \ge [/mm] 1.

Die Potenzreihenentwicklung von f um 0 sieht so aus:

    [mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{2^{n^2}*n!}z^n [/mm]      (z [mm] \in \IC). [/mm]

Ist nun t [mm] \in \IR [/mm] und t>0, so folgt

     [mm] f(t)=\ge \bruch{1}{2^{m^2}*m!}t^m, [/mm]

also

     [mm] \bruch{f(t)}{t^m} \ge \bruch{1}{2^{m^2}*m!}. [/mm]

Wieder haben wir einen Widerspruch. Zu was ?

FRED

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Komplexe Analysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]