matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenHarmonisch alternierende Reihe
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Folgen und Reihen" - Harmonisch alternierende Reihe
Harmonisch alternierende Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Harmonisch alternierende Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:35 Mi 19.11.2014
Autor: Skippy05

Aufgabe
Hallo,

Kann mir jemand vielleicht bitte erklären wie man einen Grenzwert bei harmonisch alternierender Reihe berechnet?

z.B

[mm] $\summe_{i=0}^{infty} (-1)^{n} \bruch {1}{3^{n}}$ [/mm]



        
Bezug
Harmonisch alternierende Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:46 Mi 19.11.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> Kann mir jemand vielleicht bitte erklären wie man einen
> Grenzwert bei harmonisch alternierender Reihe berechnet?
>  z.B
>
> [mm]\summe_{i=0}^{infty} (-1)^{n} \bruch {1}{3^{n}}[/mm]

Du meinst sicher [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \bruch {1}{3^{n}}[/mm]

Das hat aber mit "harmonisch" nix zu tun, sondern mit "geometrisch".

Das ist die geom. Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}q^n [/mm] mit $q=-1/3$

FRED

>  
>  


Bezug
                
Bezug
Harmonisch alternierende Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Mi 19.11.2014
Autor: Skippy05

Hallo Fred,

Vielen Dank für deine Antwort.
Ich meinte tatsächlich das was du aufgeschrieben hast.

Das hier wäre dann  harmonisch alternierende Reihe?

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}$ $(-1)^{n} (\bruch{1}{2^{n}})$ [/mm]

Was ich immer noch nicht ganz verstanden habe, wie man bei den alternierenden Reihen  mit [mm] $(-1)^{n}$ [/mm] den Grenzwert berechnet.
Bei geometrischen (nicht alternierenden)Reihen geht es mit dieser Formel:

[mm] $q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}$ [/mm]


Sowie hier

[mm] $\summe_{n=0}^{\infty}$ [/mm] $ [mm] (\bruch{1}{3^{n}})$ [/mm]
dann ist q= [mm] $\bruch [/mm] {3}{2}$

Danke!

Bezug
                        
Bezug
Harmonisch alternierende Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Mi 19.11.2014
Autor: abakus


> Hallo Fred,

>

> Vielen Dank für deine Antwort.
> Ich meinte tatsächlich das was du aufgeschrieben hast.

>

> Das hier wäre dann harmonisch alternierende Reihe?

>

> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] [mm](-1)^{n} (\bruch{1}{2^{n}})[/mm]

Das ist immer noch eine geometrische Reihe mit q=-0,5.
>

> Was ich immer noch nicht ganz verstanden habe, wie man bei
> den alternierenden Reihen mit [mm](-1)^{n}[/mm] den Grenzwert
> berechnet.
> Bei geometrischen (nicht alternierenden)Reihen geht es mit
> dieser Formel:

>

> [mm]q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]

>
>

> Sowie hier

>

> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] [mm](\bruch{1}{3^{n}})[/mm]
> dann ist q= [mm]\bruch {3}{2}[/mm]

???
Hier ist q=1/3.
>

> Danke!

Bezug
                                
Bezug
Harmonisch alternierende Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:59 Mi 19.11.2014
Autor: Skippy05

Sorry

[mm] $(\bruch {1}{3})^{n}$ [/mm]


Bezug
                                        
Bezug
Harmonisch alternierende Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:02 Mi 19.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Sorry
>
> [mm](\bruch {1}{3})^{n}[/mm]


    [mm] $\sum_{n=0}^\infty (1/3)^n=1/(1-1/3)=3/2$ [/mm]

    [mm] $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(1/3)^n=\sum_{n=0}^\infty (-1/3)^n=1/(1-(-1/3))=3/4$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                        
Bezug
Harmonisch alternierende Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 Mi 19.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo Fred,
>  
> Vielen Dank für deine Antwort.
> Ich meinte tatsächlich das was du aufgeschrieben hast.
>  
> Das hier wäre dann  harmonisch alternierende Reihe?
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] [mm](-1)^{n} (\bruch{1}{2^{n}})[/mm]

nö, hat Abakus Dir aber auch schon gesagt. Die harmonische Reihe ist diese

    [mm] $\sum_{k=1}^\infty 1/k\,.$ [/mm]
  
Diese divergiert (gegen [mm] $\infty$). [/mm]

Wenn ich sie alternieren lasse, also etwa

    [mm] $\sum_{k=1}^\infty (-1)^k*1/k\,$ [/mm]

betrachte, ist das letztstehende Ding konvergent nach Leibniz.

> Was ich immer noch nicht ganz verstanden habe, wie man bei
> den alternierenden Reihen  mit [mm](-1)^{n}[/mm] den Grenzwert
> berechnet.
>  Bei geometrischen (nicht alternierenden)Reihen geht es mit
> dieser Formel:
>  
> [mm]q=\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm]

Quatsch. Die Reihe

    [mm] $\sum_{k=0}^\infty q^k$ [/mm]

konvergiert genau dann (sogar im Komplexen), wenn $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] ist, und im Falle
der Konvergenz ist der Grenzwert

    [mm] $\frac{1}{1-q}\,.$ [/mm]
  

>
> Sowie hier
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] [mm](\bruch{1}{3^{n}})[/mm]
>  dann ist q= [mm]\bruch {3}{2}[/mm]

    [mm] $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{1}{3^n}=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{3^n}=\sum_{n=0}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^n\,.$ [/mm]

Wegen

    $|-(1/3)|=1/3 < 1$

ist deren Grenzwert

    [mm] $\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=...$ [/mm]

P.S. Ich hoffe insbesondere, dass hier nicht wieder die Unsitte entsteht,
dass die Grenzwerte des WK oder QK einfach als Reihenwerte interpretiert
werden......

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                
Bezug
Harmonisch alternierende Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:04 Mi 19.11.2014
Autor: Skippy05

Vielen Dank Marcel,

ich habe alles verstanden.



Bezug
                                        
Bezug
Harmonisch alternierende Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:24 Mi 19.11.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Vielen Dank Marcel,

gerne.
  

> ich habe alles verstanden.

Das hört sich gut an!

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]