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Grenzwertbestimmung: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Fr 06.02.2015
Autor: strawberryjaim

Aufgabe 1
[mm] \bruch{n-1}{n^{2}-1} [/mm]


Aufgabe 2
[mm] \bruch{n^{2}-4}{(n-2)^{2}} [/mm]


Aufgabe 3
[mm] \bruch{4n^{4}-3n^{3}+2n^{2}-n}{n^{2}(2n-1)^{2}} [/mm]


Zu 1: [mm] \bruch{n}{n^{2}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n-\bruch{1}{n}} [/mm] = 0

Zu 2: Dort habe ich erst mal die Klammer im Nenner ausgerechnet
[mm] \bruch{n^{2}-4}{(n)^{2}-4n+4} [/mm]
und anschließend den "größten Exponenten" ausgeklammert
[mm] \bruch{n^{2}(1-\bruch{4}{n^{2}}}{n^{2}(1-\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}} [/mm] = 1

Wann ist es denn sinnvoll den Bruch auseinanderzuziehen wie ich es bei 1 getan habe und wann ist es sinnvoll, den größten Exponenten auszuklammern?

Zu 3: Dort habe ich den größten Exponenten ausgeklammert
[mm] \bruch{n^{4}(4-\bruch{3}{n}+\bruch{2}{n^{2}}-\bruch{1}{n^{3}}}{n^{4}(2n-1)} [/mm] Dann würde der Nenner ja immer noch gegen unendlich laufen, weshalb der Grenzwert der kompletten Folge ja = 0 wäre?

        
Bezug
Grenzwertbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:38 Fr 06.02.2015
Autor: DieAcht

Hallo strawberryjaim!


Zunächst: Es gibt die Vorschaufunktion! Ich habe mal die Klammer,
die dir gefehlt hat, hinzugefügt.


> [mm] \bruch{n-1}{n^{2}-1} [/mm]
>  [mm] \bruch{n^{2}-4}{(n-2)^{2}} [/mm]
>  [mm] \bruch{4n^{4}-3n^{3}+2n^{2}-n}{n^{2}(2n-1)^{2}} [/mm]
>  Zu 1: [mm] \bruch{n}{n^{2}-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}-1} [/mm] =
> [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n^{2}-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] -
> [mm] \bruch{1}{n-\bruch{1}{n}} [/mm] = 0

Das ist Quark und vor Allem die Schreibweise! Es gilt:

      [mm] $\bruch{n-1}{n^{2}-1}=\frac{n-1}{(n-1)(n+1)}=\frac{1}{n+1}\to [/mm] 0$ für [mm] n\to\infty. [/mm]

> Zu 2: Dort habe ich erst mal die Klammer im Nenner
> ausgerechnet
>  [mm] \bruch{n^{2}-4}{(n)^{2}-4n+4} [/mm]
> und anschließend den "größten Exponenten" ausgeklammert
>  
> [mm] \bruch{n^{2}(1-\bruch{4}{n^{2}}}{n^{2}(1-\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}} [/mm]
> = 1

Am Ende muss (zum Beispiel) stehen:

      [mm] $\bruch{1-\bruch{4}{n^{2}}}{1-\bruch{4}{n}+\bruch{4}{n^{2}}}\to [/mm] 1$ für [mm] n\to\infty. [/mm]

Alternativ:

      [mm] $\bruch{n^{2}-4}{(n-2)^{2}}=\frac{(n-2)(n+2)}{(n-2)(n-2)}=\frac{n+2}{n-2}\to [/mm] 1$ für [mm] n\to\infty. [/mm]

> Wann ist es denn sinnvoll den Bruch auseinanderzuziehen wie
> ich es bei 1 getan habe und wann ist es sinnvoll, den
> größten Exponenten auszuklammern?
>  
> Zu 3: Dort habe ich den größten Exponenten ausgeklammert

Es kommt immer darauf an, aber mit der Zeit kommt das.

> [mm] \bruch{n^{4}(4-\bruch{3}{n}+\bruch{2}{n^{2}}-\bruch{1}{n^{3}}}{n^{4}(2n-1)} [/mm]

Im Zähler fehlt am Ende eine Klammer und im Nenner hast du falsch
ausgeklammert.

> Dann würde der Nenner ja immer noch

Immer noch?

> gegen unendlich laufen, weshalb der Grenzwert der kompletten Folge ja = 0
> wäre?

Nein. Der Grenzwert ist [mm] $1\$. [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Grenzwertbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:29 Fr 06.02.2015
Autor: strawberryjaim

Ja, das ist mir leider dann auch aufgefallen und als ich es ändern wollte, kam, dass es nicht mehr ginge, weil es schon jemand bearbeitet. Entschuldigung.

Und danke für deine Hilfe. :)

Bezug
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