matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenGewöhnliche DifferentialgleichungenGrenzwert, Lösung Dgl,Gegenbsp
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Grenzwert, Lösung Dgl,Gegenbsp
Grenzwert, Lösung Dgl,Gegenbsp < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Grenzwert, Lösung Dgl,Gegenbsp: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:55 Di 29.03.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Sei x eine Lösung von x'=f(x), [mm] x(0)=x_0 [/mm] mit f [mm] \in C(\mathbb{R}) [/mm] welche die Bedingung [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1 [/mm] erfüllt.
Zeige, dass [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x'(t)=0 und [mm] f(x_1)=0 [/mm]

Hinweis: Wenn du [mm] lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x(t)=0 ohne die Dgl löst ist der Beweis falsch. Kannst du ein Gegenbeispiel geben?)

Hallo
x [mm] \in C^1, [/mm] demnach kann ich den mittelwertsatz anwenden:
[mm] \exists \psi \in [/mm] [t, t+1]: x(t+1)-x(t) = [mm] x'(\psi) [/mm]
Bilde ich den Grenzwert erhalte ich [mm] lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x(t+1)-x(t)= [mm] \lim_{\psi \rightarrow \infty} x'(\psi) [/mm] da wenn t gegen unendlich geht auch die Zwischenstelle [mm] \psi [/mm] gegen unendlich geht.
Da [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1 [/mm] ergibt  sich [mm] 0=lim_{\psi \rightarrow \infty} x'(\psi) [/mm]
Aus der Stetigkeit von f folt: [mm] f(x_1)= f(\lim_{t\rightarrow \infty} x(t))=lim_{t\rightarrow \infty} f(x(t))=\lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x'(t)=0

Ich habe nicht benutzt [mm] x(0)=x_0, [/mm] was mich verunsichert. Hätte ich das wo einbauen müssen?

Nun zum Hinweis: Ich soll ein Bsp finden, wo [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1 [/mm] aber [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} [/mm] x'(t) [mm] \not=0. [/mm] Also der Limes und die Ableitung nicht vertauscht werden darf.
Ich war noch nie gut darin ein bsp für einen Fall zu kontsruieren, habt ihr da einen Vorschlag wie ich mir das am besten überlegen kann?

lg sissi

        
Bezug
Grenzwert, Lösung Dgl,Gegenbsp: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:08 Do 31.03.2016
Autor: fred97


> Sei x eine Lösung von x'=f(x), [mm]x(0)=x_0[/mm] mit f [mm]\in C(\mathbb{R})[/mm]
> welche die Bedingung [mm]\lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1[/mm]
> erfüllt.
>  Zeige, dass [mm]\lim_{t\rightarrow \infty}[/mm] x'(t)=0 und
> [mm]f(x_1)=0[/mm]
>  


Hallo Sissi,


> Hinweis: Wenn du [mm]lim_{t\rightarrow \infty}[/mm] x(t)=0


Hier soll es wohl lauten

[mm]lim_{t\rightarrow \infty}x'(t)=0 [/mm]




> ohne die
> Dgl löst ist der Beweis falsch. Kannst du ein
> Gegenbeispiel geben?)
>  Hallo
>  x [mm]\in C^1,[/mm] demnach kann ich den mittelwertsatz anwenden:
>  [mm]\exists \psi \in[/mm] [t, t+1]: x(t+1)-x(t) = [mm]x'(\psi)[/mm]
>  Bilde ich den Grenzwert erhalte ich [mm]lim_{t\rightarrow \infty}[/mm]
> x(t+1)-x(t)= [mm]\lim_{\psi \rightarrow \infty} x'(\psi)[/mm] da
> wenn t gegen unendlich geht auch die Zwischenstelle [mm]\psi[/mm]
> gegen unendlich geht.
>  Da [mm]\lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1[/mm] ergibt  sich
> [mm]0=lim_{\psi \rightarrow \infty} x'(\psi)[/mm]




Hmmmm, das gefällt mir nicht ! Ist Dir nicht aufgefallen, dass Du zu Deinem Resultat ohne(!) die Dgl. gekommen bist ? Der Aufgabensteller sagt Dir, dass dann an Deinem Beweis etwas nicht in Ordnung ist ! Jetzt ist die Frage: was ist nicht in Ordnung ?

Das: ich wiederhole nochmal Dein Argument (mit einer etwas ausführlicheren Bezeichnungsweise):

zu jedem t>0 gibt es nach dem Mittelwertsatz ein [mm] $s_t \in [/mm] [t,t+1]$ mit

    [mm] $x(t+1)-x(t)=x'(s_t)$. [/mm]

Lässt man nun $t [mm] \to \infty$ [/mm] gehen, so folgt, da mit $t$ auch  [mm] $s_t \to \infty$ [/mm] geht:

(*)  [mm] $x'(s_t) \to x_1-x_1=0$. [/mm]

Damit hast Du aber $ [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} [/mm]  x'(t)=0$ nicht gezeigt ! Denn Du hast in eine spezielle(!) Annäherung des Arguments in $x'$ gegen [mm] \infty [/mm] gewählt, nämlich [mm] (s_t). [/mm]

Wie gesagt: die Dgl. hast Du nicht benutzt und ohne die wirds falsch (s.u.).

Deine Argumentation mit dem MWS ist gut und zu retten. Und zwar so: zunächst muss man zeigen, dass der Grenzwert $ [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} [/mm]  x'(t)$ überhaupt existiert (in [mm] \IR). [/mm] Das geht über die Dgl, zusammen mit  $ [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1 [/mm] $ und der Stetigkeit von $f$ so:

   $ [mm] \lim_{t\rightarrow \infty} x'(t)=\lim_{t\rightarrow \infty}f(x(t))=f(x_1)$. [/mm]


Daraus folgt dann (mit (*)):

$ [mm] f(x_1)= \lim_{t\rightarrow \infty} [/mm]  x'(t)=  [mm] \lim_{t\rightarrow \infty}x'(s_t)=0$ [/mm]




>  Aus der
> Stetigkeit von f folt: [mm]f(x_1)= f(\lim_{t\rightarrow \infty} x(t))=lim_{t\rightarrow \infty} f(x(t))=\lim_{t\rightarrow \infty}[/mm]
> x'(t)=0
>  
> Ich habe nicht benutzt [mm]x(0)=x_0,[/mm] was mich verunsichert.
> Hätte ich das wo einbauen müssen?

Nein, natürlich nicht, denn [mm] x_0 [/mm] ist doch nur eine Bezeichnungsweise für $x(0)$.

(Wozu der Aufgabensteller diese Bezeichnung eingeführt hat, ist mir nicht bekannt. Womöglich geht die Aufgabe noch weiter).


>  
> Nun zum Hinweis: Ich soll ein Bsp finden, wo
> [mm]\lim_{t\rightarrow \infty} x(t)=x_1[/mm] aber [mm]\lim_{t\rightarrow \infty}[/mm]
> x'(t) [mm]\not=0.[/mm] Also der Limes und die Ableitung nicht
> vertauscht werden darf.
>  Ich war noch nie gut darin ein bsp für einen Fall zu
> kontsruieren, habt ihr da einen Vorschlag wie ich mir das
> am besten überlegen kann?

Tja, das ist mir das Fresnel- Integral


     [mm] \integral_{0}^{\infty}{\sin(s^2) ds} [/mm]

eingefallen. Dieses Integral ist konvergent und und $= [mm] \bruch{\wurzel{2 \pi}}{4}$ [/mm]

Jetzt wirst Du Fragen: wie das ?

Es gibt eine große Analogie zwischen unendlichen Reihen und uneigentlichen Integralen vom Typ [mm] \integral_{0}^{\infty}{g(s) ds}, [/mm] die aber ihre Grenzen hat !

Ist z.B. [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n [/mm] konvergent, so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge. Ist aber [mm] \integral_{0}^{\infty}{g(s) ds} [/mm] konvergent, so gilt i.a. nicht, dass $g(s) [mm] \to [/mm] 0$ strebt für $s [mm] \to \infty$. [/mm]

Das fiel mir ein und damit kommt man auch zu einem prima Gegenbeispiel:

Wir nehmen die Funktion x(t):= [mm] \integral_{0}^{t}{\sin(s^2) ds}. [/mm]

Dann wissen wir( s.o.):

  $x(t) [mm] \to \bruch{\wurzel{2 \pi}}{4}$ [/mm]  für $t [mm] \to \infty$. [/mm]

Nach dem Hauptsatz der Diff.- und Integralrechnung ist

    [mm] $x'(t)=\sin(t^2)$. [/mm]

Also ex.  [mm] $\lim_{t\rightarrow \infty} [/mm]  x'(t)$  nicht !

Gruß FRED

P.S.:  ich wäre sehr interessiert an einem "einfacheren" Gegenbeispiel.



>  
> lg sissi


Bezug
                
Bezug
Grenzwert, Lösung Dgl,Gegenbsp: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:36 Do 31.03.2016
Autor: sissile

Vielen Dank.
Ich dachte, da ich ja für x [mm] \in C^1 [/mm] die Dgl. anwende, dass dies die Fehlerfalle gewesen ist.
Da bin ich dann doch in die Falle geraten. Danke für´s Aufmerksam machen!

Ich hab leider bis jetzt kein einfacheres Bsp gefunden.

LG,
sissi


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]