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Gleichung lösen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Mo 07.04.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Berechnen Sie alle Lösungen folgender Gleichungen:

a) [mm] z^2 [/mm] -4iz +4z -8i = 0

b) [mm] z^2 [/mm] + 2(1+i)z = 1-3i

c) [mm] (z-3i)^2 [/mm] + [mm] (z-4i)^2 [/mm] + 25 = 0

d) (z-1-2i)z = 3-i

e) [mm] \bruch{z -3}{z-i}+ \bruch{z - 4+i}{z-1} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{z^2 -z - iz+i} [/mm]

a)

0 = [mm] z^2 [/mm] -4iz +4z -8i

0 = [mm] z^2 [/mm] +z(-4i+4) -8i

0 = [mm] z^2 [/mm] +z(-4i+4) + [mm] (\bruch{-4i+4}{2})^2 [/mm] - [mm] (\bruch{-4i+4}{2})^2 [/mm] -8i

(z + (-2i [mm] +2))^2 [/mm] = [mm] (-2i+2)^2 [/mm] + 8i

z = [mm] +-\wurzel{(-2i+2)^2 + 8i} [/mm] +2i -2

[mm] +-\wurzel{(-2i+2)^2 + 8i} [/mm] = 0

weil: [mm] (-2i+2)^2 [/mm] + 8i = [mm] 4i^2-8i+4+8i [/mm] = 0

hier gibt es nur eine lösung oder?

z = 2i -2


b)

0 = [mm] z^2 [/mm] + z(2+2i)+3i-1

0 = [mm] z^2 [/mm] + z(2+2i)+ [mm] (\bruch{2+2i}{2})^2 -(\bruch{2+2i}{2})^2 [/mm] + 3i-1

(z + [mm] 1+i)^2 [/mm] = 1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{1-i} [/mm] -1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}e^{\bruch{3 \pi*i}{4}}} [/mm] -1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] =  [mm] +-\wurzel{\wurzel{2}} [/mm] ( [mm] cos(\bruch{3 \pi}{4})+i*sin(\bruch{3 \pi}{4}))-1-i [/mm]

[mm] z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{\wurzel{2}} (-\bruch{\wurzel{2}}{2}+ i\bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] -1-i = -1,84 - 0,16i

[mm] z_2 [/mm] = - [mm] \wurzel{\wurzel{2}} (-\bruch{\wurzel{2}}{2}+ i\bruch{\wurzel{2}}{2}) [/mm] -1-i = -0,16 - 1,84i

ich bitte um Korrektur






        
Bezug
Gleichung lösen: zu a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:24 Mo 07.04.2014
Autor: Roadrunner

Hallo arbeitsamt!


> 0 = [mm]z^2[/mm] -4iz +4z -8i
>
> 0 = [mm]z^2[/mm] +z(-4i+4) -8i
>  
> 0 = [mm]z^2[/mm] +z(-4i+4) + [mm](\bruch{-4i+4}{2})^2[/mm] -  [mm](\bruch{-4i+4}{2})^2[/mm] -8i
>  
> (z + (-2i [mm]+2))^2[/mm] = [mm](-2i+2)^2[/mm] + 8i
>  
> z = [mm]+-\wurzel{(-2i+2)^2 + 8i}[/mm] +2i -2
>  
> [mm]+-\wurzel{(-2i+2)^2 + 8i}[/mm] = 0
>  
> weil: [mm](-2i+2)^2[/mm] + 8i = [mm]4i^2-8i+4+8i[/mm] = 0
>  
> hier gibt es nur eine lösung oder?
>  
> z = 2i -2

[daumenhoch] Das sieht gut aus ...


Geuß vom
Roadrunner

Bezug
        
Bezug
Gleichung lösen: zu b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Mo 07.04.2014
Autor: Diophant

Hallo,

dann will ich mal die b) übernehmen:

> Berechnen Sie alle Lösungen folgender Gleichungen:

> b) [mm]z^2[/mm] + 2(1+i)z = 1-3i

>

> 0 = [mm]z^2[/mm] + z(2+2i)+3i-1

>

> 0 = [mm]z^2[/mm] + z(2+2i)+ [mm](\bruch{2+2i}{2})^2 -(\bruch{2+2i}{2})^2[/mm]
> + 3i-1

>

> (z + [mm]1+i)^2[/mm] = 1-i

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{1-i}[/mm] -1-i

Bis hierher passt alles. [ok]

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}e^{\bruch{3 \pi*i}{4}}}[/mm] -1-i

Hier ist dir beim Umrechnen in die Polardarstellung beim Argument ein Fehler unterlaufen. Entweder sind das [mm] 7/4\pi, [/mm] oder wegen mir [mm] -\pi/4. [/mm] Aber dein Argument würde zu der Zahl -1+i gehören!
>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] ( [mm]cos(\bruch{3 \pi}{4})+i*sin(\bruch{3 \pi}{4}))-1-i[/mm]

>

> [mm]z_1[/mm] = [mm]\wurzel{\wurzel{2}} (-\bruch{\wurzel{2}}{2}+ i\bruch{\wurzel{2}}{2})[/mm]
> -1-i = -1,84 - 0,16i

>

> [mm]z_2[/mm] = - [mm]\wurzel{\wurzel{2}} (-\bruch{\wurzel{2}}{2}+ i\bruch{\wurzel{2}}{2})[/mm]
> -1-i = -0,16 - 1,84i

>

Von daher kann jetzt der Rest auch nicht stimmen, wobei mir auch deine Vorgehensweise falsch erschint. Da muss man auf jeden Fall noch die Moivre-Formel anwenden!


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:43 Mo 07.04.2014
Autor: arbeitsamt


> wobei mir auch deine Vorgehensweise falsch erschint.

ja ich habe vergessen wegen der wurzel den winkel zu halbieren


[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{1-i} [/mm] -1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{\wurzel{2}*e^{\bruch{i*7 \pi}{3}}} [/mm] -1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \wurzel{e^{\bruch{i*7 \pi}{3}}}-1-i [/mm]

[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] e^{\bruch{i*7 \pi}{6}} [/mm] -1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] ( [mm] cos(\bruch{7 \pi}{6}) +i*sin(\bruch{7 \pi}{6})) [/mm] -1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] (- [mm] \bruch{\wurzel{3}}{2} [/mm] + i* [mm] \bruch{-1}{2}) [/mm] -1 -i

[mm] z_1 [/mm] = -2 -1,6i

[mm] z_2 [/mm] = 0,03 - 0,41i

ich bitte um korrektur

Bezug
                        
Bezug
Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 Mo 07.04.2014
Autor: Diophant

Hallo,

>

> > wobei mir auch deine Vorgehensweise falsch erschint.

>

> ja ich habe vergessen wegen der wurzel den winkel zu
> halbieren

>
>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{1-i}[/mm] -1-i

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{\wurzel{2}*e^{\bruch{i*7 \pi}{3}}}[/mm]
> -1-i

Ne, ne, ne: es müssen [mm] 7/4\pi [/mm] sein!

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\wurzel{e^{\bruch{i*7 \pi}{3}}}-1-i[/mm]

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]e^{\bruch{i*7 \pi}{6}}[/mm]
> -1-i

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] ( [mm]cos(\bruch{7 \pi}{6}) +i*sin(\bruch{7 \pi}{6}))[/mm]
> -1-i

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] (- [mm]\bruch{\wurzel{3}}{2}[/mm] +
> i* [mm]\bruch{-1}{2})[/mm] -1 -i

>

> [mm]z_1[/mm] = -2 -1,6i

>

> [mm]z_2[/mm] = 0,03 - 0,41i

>

Alles nochmal auf Anfang; und ganz ehrlich: wenn man beim Berechnen solcher Aufgaben das Ergebnis mit gerundeten Dezimalzahlen angibt, dann ist das in etwa so, wie wenn man an eine richtig teure []Rennmaschine Stützräder montiert... ;-)

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:05 Mo 07.04.2014
Autor: arbeitsamt

[mm] \alpha [/mm] = arc tan [mm] (\bruch{-1}{1})+2 \pi [/mm] = [mm] \bruch{7\pi}{4} [/mm]


[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{1-i} [/mm] -1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{\wurzel{2}*e^{\bruch{i*7 \pi}{4}}} [/mm] -1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] \wurzel{e^{\bruch{i*7 \pi}{4}}}-1-i [/mm]

[mm] z_{1,2}= [/mm] +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] * [mm] e^{\bruch{i*7 \pi}{8}} [/mm] -1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] ( [mm] cos(\bruch{7 \pi}{8}) +i*sin(\bruch{7 \pi}{8})) [/mm] -1-i

[mm] z_{1,2} [/mm] = +- [mm] \wurzel{\wurzel{2}} [/mm] (- 0,92 +i* 0,38) -1 -i


[mm]z_1[/mm] = -2,1 - 0,55i

[mm]z_2[/mm] = 0,09  - 1,45i

so besser?


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Bezug
Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:36 Mo 07.04.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> [mm]\alpha[/mm] = arc tan [mm](\bruch{-1}{1})+2 \pi[/mm] = [mm]\bruch{7\pi}{4}[/mm]

>
>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{1-i}[/mm] -1-i

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = [mm]+-\wurzel{\wurzel{2}*e^{\bruch{i*7 \pi}{4}}}[/mm]
> -1-i

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]\wurzel{e^{\bruch{i*7 \pi}{4}}}-1-i[/mm]

>

> [mm]z_{1,2}=[/mm] +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] * [mm]e^{\bruch{i*7 \pi}{8}}[/mm]
> -1-i

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] ( [mm]cos(\bruch{7 \pi}{8}) +i*sin(\bruch{7 \pi}{8}))[/mm]
> -1-i

>

> [mm]z_{1,2}[/mm] = +- [mm]\wurzel{\wurzel{2}}[/mm] (- 0,92 +i* 0,38) -1 -i

>
>

> [mm]z_1[/mm] = -2,1 - 0,55i

>

> [mm]z_2[/mm] = 0,09 - 1,45i

>

> so besser?

Nicht wirklich. Die Sache mit den Winkeln stimmt jetzt, aber die Lösungen sind immer  noch extrem unschön. Es geht mal damit los:

[mm] \wurzel{\wurzel{2}}=\wurzel[4]{2} [/mm]

Kommt halt jetzt auch drauf an, was du machen möchtest: Mathematik oder dröges Rechnen.

Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Gleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mo 07.04.2014
Autor: arbeitsamt

c)

0 = [mm] (z-3i)^2 [/mm] + [mm] (z-4i)^2 [/mm] + 25

0 = [mm] 2z^2 [/mm] - 6zi-8zi

0 = [mm] z^2 [/mm] +z (-3i -4i)

[mm] z_1 [/mm] = 0

[mm] z_2 [/mm] = 7i


d)

(z-1-2i)z = 3-i

0 = [mm] z^2+ [/mm] z(-1-2i) -3+i

0 = [mm] z^2+ [/mm] z(-1-2i) [mm] +(\bruch{-1-2i}{2})^2 -(\bruch{-1-2i}{2})^2 [/mm] -3+i

(z - [mm] \bruch{1}{2}-i)^2 [/mm] = [mm] (\bruch{-1}{2}-i)^2 [/mm] +3 -i

(z - [mm] \bruch{1}{2}-i)^2 [/mm] = 2,25

[mm] z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2,25} [/mm] +0,5 +i

[mm] z_2 [/mm] = [mm] -\wurzel{2,25} [/mm] +0,5 +i

ich bitte um korrektur

Bezug
                
Bezug
Gleichung lösen: zu c.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Mo 07.04.2014
Autor: Roadrunner

Hallo arbeitsamt!


> 0 = [mm](z-3i)^2[/mm] + [mm](z-4i)^2[/mm] + 25
>
> 0 = [mm]2z^2[/mm] - 6zi-8zi
>  
> 0 = [mm]z^2[/mm] +z (-3i -4i)

Hier vermisse noch einen Zwischenschritt, zumal Du zuvor sehr kleinschrittig aufgeschrieben hast.

  

> [mm]z_1[/mm] = 0
>  
> [mm]z_2[/mm] = 7i

[daumenhoch] Aber das Ergebnis stimmt.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                
Bezug
Gleichung lösen: zu d.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Mo 07.04.2014
Autor: Roadrunner

Hallo arbeitsamt!


> (z-1-2i)z = 3-i
>  
> 0 = [mm]z^2+[/mm] z(-1-2i) -3+i
>  
> 0 = [mm]z^2+[/mm] z(-1-2i) [mm]+(\bruch{-1-2i}{2})^2 -(\bruch{-1-2i}{2})^2[/mm]  -3+i
>  
> (z - [mm]\bruch{1}{2}-i)^2[/mm] = [mm](\bruch{-1}{2}-i)^2[/mm] +3 -i
>  
> (z - [mm]\bruch{1}{2}-i)^2[/mm] = 2,25
>  
> [mm]z_1[/mm] = [mm]\wurzel{2,25}[/mm] +0,5 +i
>
> [mm]z_2[/mm] = [mm]-\wurzel{2,25}[/mm] +0,5 +i

Grundsätzlich bis hierhin [ok].

Aber was ergibt denn [mm] $\wurzel{2{,}25}$ [/mm] ? Das lässt sich schön ausrechnen und zusammenfassen.


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
        
Bezug
Gleichung lösen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Mo 07.04.2014
Autor: arbeitsamt

danke euch beiden.

habe ich die lettze gleichung richtig gelöst?

e)

[mm] \bruch{z -3}{z-i}+ \bruch{z - 4+i}{z-1} [/mm] = [mm] -\bruch{4}{z^2 -z - iz+i} [/mm]

[mm] \bruch{z^2-z-3z+3}{z^2 -z - iz+i} [/mm] + [mm] \bruch{z^2-zi-4z+4i+zi-i^2}{z^2 -z - iz+i} [/mm] =  [mm] -\bruch{4}{z^2 -z - iz+i} [/mm]


[mm] \bruch{2z^2-8z+4i+4}{z^2 -z - iz+i}= -\bruch{4}{z^2 -z - iz+i} [/mm]

-4 = [mm] 2z^2-8z+4i+4 [/mm]

0 = [mm] z^2-4z-2i+4 [/mm]

[mm] (z-2)^2 [/mm] = -2i

[mm] z_{1,2} =+-\wurzel{-2i}+2 [/mm]

[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{2e^{\bruch{3 \pi *i}{2}}}+2 [/mm]

[mm] z_{1,2} [/mm] = [mm] +-\wurzel{2} [/mm] * [mm] e^{\bruch{3 \pi *i}{4}}+2 [/mm]

[mm] z_1 [/mm] = [mm] \wurzel{2} (cos(\bruch{3 \pi}{4}) [/mm] +i* [mm] sin(\bruch{3 \pi}{4})) [/mm] +2 = 1+i

[mm] z_2 [/mm] = - [mm] \wurzel{2} (cos(\bruch{3 \pi}{4}) [/mm] +i* [mm] sin(\bruch{3 \pi}{4})) [/mm] +2 = 3 -i



Bezug
                
Bezug
Gleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Mo 07.04.2014
Autor: Steffi21

Hallo,

1+i und 3-i sind ok, kleiner Schreibfehler

[mm] 0=z^2-4z-2i+4 [/mm] lautet

[mm] 0=z^2-4z+2i+4 [/mm]

Steffi


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