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Forum "Differenzialrechnung" - Gleichmäßige Stetigkeit
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Gleichmäßige Stetigkeit: Delta Abschätzen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:22 Mi 18.11.2015
Autor: Skyrula

Aufgabe
Zeige, das [mm] f(x)=\frac{1}{x} [/mm] auf dem Intervall [mm] I=[a,\infty),a>0 [/mm] gleichmäßig stetig ist.

Hallo zusammen,

ich würde die Aufgabe gerne mit dem Delta-Epsilon Kriterium bewältigen können. Das Kriterium besagt:

[mm] \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta>0 \forall [/mm] x,y [mm] \in [/mm] I: [mm] |x-y|<\delta \rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon [/mm]

Mein Problem liegt darin [mm] \delta [/mm] rechnerisch ermittel zu können.

Hier mein Ansatz:
[mm] |f(x)-f(y)|<\varepsilon \gdw |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|<\varepsilon \gdw |\frac{x-y}{xy}|<\varepsilon [/mm]

Ich habe zahlreiche Umformungen ausprobiert, jedoch darf bei gleichmäßiger Stetigkeit [mm] \delta [/mm] nur von [mm] \varepsilon [/mm] abhängen und das bekomme ich einfach nicht auf die Kette.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Danke im Vorraus.



        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:55 Do 19.11.2015
Autor: fred97


> Zeige, das [mm]f(x)=\frac{1}{x}[/mm] auf dem Intervall
> [mm]I=[a,\infty),a>0[/mm] gleichmäßig stetig ist.
>  Hallo zusammen,
>  
> ich würde die Aufgabe gerne mit dem Delta-Epsilon
> Kriterium bewältigen können. Das Kriterium besagt:
>  
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists \delta>0 \forall[/mm] x,y [mm]\in[/mm] I:
> [mm]|x-y|<\delta \rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon[/mm]
>  
> Mein Problem liegt darin [mm]\delta[/mm] rechnerisch ermittel zu
> können.
>  
> Hier mein Ansatz:
>  [mm]|f(x)-f(y)|<\varepsilon \gdw |\frac{1}{x}-\frac{1}{y}|<\varepsilon \gdw |\frac{x-y}{xy}|<\varepsilon[/mm]
>  
> Ich habe zahlreiche Umformungen ausprobiert, jedoch darf
> bei gleichmäßiger Stetigkeit [mm]\delta[/mm] nur von [mm]\varepsilon[/mm]
> abhängen und das bekomme ich einfach nicht auf die Kette.
>  
> Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.
>  
> Danke im Vorraus.



Du hast kurz vorm Ziel schlapp gemacht und das liegt daran, weil Du am Start etwas vergessen hast. Meistens ist es in der Mathematik so, dass es ohne Voraussetzungen nicht geht.

Hier ist f definiert auf  $ [mm] I=[a,\infty)$ [/mm] ,  mit $a>0 $.

Dann gilt für x,y [mm] \in [/mm] I:

   [mm] |f(x)-f(y)|=\bruch{|x-y|}{xy} \le \bruch{1}{a^2}|x-y|$. [/mm]

Siehst Du nun, wie Du zu vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] ein geeignetes [mm] \delta [/mm] wählen kannst ?

FRED

P.S. f ist auf I sogar Lipschitzstetig.

>  
>  


Bezug
                
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Do 19.11.2015
Autor: Skyrula

Hallo,

vielen Dank für die Hilfe und den Tipp,

mit deiner Hilfe komme ich dann auf [mm] \frac{1}{a^2}|x-y|<\varepsilon \gdw \frac{1}{a^2}\delta<\varepsilon \le \delta<\varepsilon a^2 [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Fr 20.11.2015
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> vielen Dank für die Hilfe und den Tipp,
>  
> mit deiner Hilfe komme ich dann auf
> [mm]\frac{1}{a^2}|x-y|<\varepsilon \gdw \frac{1}{a^2}\delta<\varepsilon \le \delta<\varepsilon a^2[/mm]

Das ist Murks ! Aus Deinen obigen Ungleichungen würde folgen

[mm] \varepsilon <\varepsilon a^2, [/mm]

also [mm] a^2>1 [/mm] !!!

Ist [mm] \varepsilon>0 [/mm] gegeben, so wähle [mm] \delta=a^2*\varepsilon [/mm]

FRED

>  


Bezug
        
Bezug
Gleichmäßige Stetigkeit: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:30 Do 19.11.2015
Autor: HJKweseleit

[mm] \delta [/mm] darf nicht von x bzw. y abhängen, wohl aber von a.

Bezug
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