matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationGleichmäßige Konv. + Diffbark.
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Differentiation" - Gleichmäßige Konv. + Diffbark.
Gleichmäßige Konv. + Diffbark. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gleichmäßige Konv. + Diffbark.: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:02 Do 24.09.2015
Autor: steppenhahn

Aufgabe
Sei [mm] $f_n:D \subset \IR \to \IR$ [/mm] eine Funktionenfolge mit Ableitungen [mm] $f_n'$ [/mm] und $D$ offen. Sei [mm] $x_0 \in [/mm] D$ fest, [mm] $\delta [/mm] > 0$ und [mm] $(\delta_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge mit [mm] $\delta_n \downarrow [/mm] 0$. Es gebe Funktionen $f,g: D [mm] \to \IR$ [/mm] mit

[mm] $\sup_{|x-x_0| \le \delta} |f_n(x)-f(x)| \to [/mm] 0$,

[mm] $\sup_{|x-x_0| \le \delta_n} |f_n'(x) [/mm] - g(x)| [mm] \to [/mm] 0$,

[mm] $f_n'(x) \to [/mm] g(x)$ für alle [mm] $|x-x_0| \le \delta$. [/mm]

Gilt nun, dass $f$ differenzierbar in [mm] $x_0$ [/mm] mit Ableitung [mm] $g(x_0)$ [/mm] ?
Achtung: Der wichtige Unterschied zum bekannten Satz aus der Analysis ist, dass die gleichmäßige Konvergenz der Ableitungen nur "sehr lokal" um [mm] $x_0$ [/mm] herum mit kleiner werdendem Radius [mm] $\delta_n$ [/mm] gilt.

Hallo,

Die obige Aufgabe ist eine Vermutung von mir. Ich bin mir nicht sicher, ob sie richtig ist; ich gehe davon aus, dass es ein Gegenbeispiel gibt. Allerdings fällt mir keines ein.
Ich wollte Euch fragen, ob ihr ähnliche Sätze kennt, oder ob Euch ein Gegenbeispiel einfällt.

---

Die Vermutung geht aus einer anderen Vermutung hervor, die glaube ich stimmt: Sind die [mm] $f_n$ [/mm] stetig in [mm] $x_0$ [/mm] und gilt [mm] $\sup_{|x-x_0| \le \delta_n}|f_n(x) [/mm] - f(x)| [mm] \to [/mm] 0$ (also nur eine sehr lokale gleichmäßige Konvergenz), dann ist auch $f$ stetig in [mm] $x_0$. [/mm]
[mm] \underline{Beweis:} [/mm] Sei [mm] $N\in \IN$ [/mm] so groß, dass [mm] $\sup_{|x-x_0| \le \delta_N}|f_N(x)-f(x)| [/mm] < [mm] \varepsilon/3$. $f_N$ [/mm] ist stetig, daher gibt es ein $d [mm] <\delta_N [/mm] $ sodass [mm] $|x-x_0| < [/mm] d [mm] \Rightarrow |f_N(x)-f_N(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon/3$. [/mm] Nun das übliche [mm] $\varepsilon/3$-Argument: [/mm] Für [mm] $|x-x_0| [/mm] < d$ gilt
[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le |f(x)-f_N(x)| [/mm] + [mm] |f_N(x) [/mm] - [mm] f_N(x_0)| [/mm] + [mm] |f_N(x_0) [/mm] - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$. [/mm]

-----

Bei dem Beweis der eigentlichen Aussage komme ich aber nicht weiter: Man definiert im normalen Analysis-Beweis eine neue Funktion $h(x) := [mm] \int_{x_0}^{x}g(t) \dif [/mm] t + [mm] f(x_0)$ [/mm] und zeigt dann, dass $h(x) = f(x)$ ist, woraus die Aussage folgt. Dazu schreibt man (im Wesentlichen):

$|h(x)-f(x)| [mm] \le \int_{x_0}^{x}|f_n'(t) [/mm] - g(t)| d t$ + andere Terme,

und schätzt dann ab mittels [mm] $\sup_{t}|f_n'(t) [/mm] - g(t)| [mm] \to [/mm] 0$. Bei mir geht das nicht, weil ich die Konvergenz der Ableitungen nur "sehr lokal" habe. Auch ähnliche Beweise scheitern an demselben Problem.

Ich hatte überlegt, ob man etwas mit dem Satz von Jegorow (punktweise konvergent bedeutet fast gleichmäßig konvergent)  machen könnte, bin aber noch nicht weitergekommen.

-----

Beim Finden eines Gegenbeispiels tue ich mich auch schwer.
- Zum Beispiel könnte man [mm] $f_n'(x) [/mm] = [mm] \sin(nx)$ [/mm] mit [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] -\frac{1}{n}\cos(nx), [/mm] f(x) = 0$, [mm] $x_0 [/mm] = 0$ nehmen, dann hat man zwar [mm] $\sup_{|x-0| \le 1/n^2}|f_n'(x)-f(x)| \to [/mm] 0$, aber [mm] $f_n(x)$ [/mm] konvergiert nicht punktweise.
- Will ich die punktweise Konvergenz garantieren, versuche ich stattdessen etwas von der Form [mm] $f_n'(x) [/mm] = (1-n|x|) [mm] 1_{|x| \le 1/n}$ [/mm] und [mm] $x_0= [/mm] 0$, aber da ist die gleichmäßige Konvergenz der Ableitungen verletzt.
- Es sieht so aus, als bräuchte ich eine Funktion, die an sehr vielen Stellen die gleichmäßige Konvergenz verletzt....

Hat jemand eine Idee :) ?

Viele Grüße,
Stefan

        
Bezug
Gleichmäßige Konv. + Diffbark.: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 06:06 So 27.09.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]