matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-NumerikGauß Seidel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Uni-Numerik" - Gauß Seidel
Gauß Seidel < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Gauß Seidel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:13 So 04.12.2016
Autor: Schmetterling99

Hi,
ich soll folgende Aufgabe lösen:

Sei A (nxn) eine symmetrische nichtsinguläre Matrix mit einer Zerlegung [mm] A=I+L+L^{t}, [/mm] wobei L eine echte untere Dreiecksmatrix und I die Einheitsmatrix sei. Das symmetrische Gauß Seidel Verfahren ist gegeben durch [mm] x^{0} \in \IR^{n} [/mm] und

(I+L) [mm] x^{k+\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] b-L^{t}x^{k} [/mm]

[mm] (I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] b-Lx^{k+\bruch{1}{2}} [/mm]

Zeige:
a) Das symmetrische Gauß Seidel Verfahren ist ein lineares Iterationsverfahren der Form

[mm] x^{k+1} [/mm] = [mm] M^{-1} (b+Nx^{k}) [/mm] und gebe M und N an.

Meine Idee:

[mm] (I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] b-L(b-L^{t}x^{k})(I+L)^{-1} [/mm] also [mm] x^{k+\bruch{1}{2}} [/mm] eingesetzt

[mm] (I+L)(I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] b-L(b-L^{t}x^{k}) [/mm]

[mm] (I+L)(I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] b+LL^{t}x^{k} [/mm]

[mm] (I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] (I+L)^{-1}b+(I+L)^{-1}LL^{t}x^{k} [/mm]


Jetzt kommen viele Umformungsschritte, mit deren Hilfe ich gezeigt habe, dass [mm] (I+L)^{-1}LL^{t}=L(I+L)^{-1}L^{t} [/mm] ist. Erhalte dann also

[mm] (I+L^{t}) x^{k+1} [/mm] = [mm] (I+L)^{-1}b+L (I+L)^{-1} L^{t} x^{k} [/mm]

Ich weiß, dass für

[mm] M^{-1}= ((I+L^{t}))^{-1} [/mm] und für N= [mm] L(I+L)^{-1}L^{t} [/mm]

rauskommen soll. Bei mir stört also das [mm] (I+L)^{-1}b, [/mm] wobei ich natürlich nur [mm] (I+L)^{-1} [/mm] wegbekommen muss und nicht b um auf die Form
[mm] x^{k+1} [/mm] = [mm] M^{-1} (b+Nx^{k}) [/mm] zu kommen.
Komme da also nicht weiter

b) G sei die Iterationsmatric [mm] G=M^{-1}*N, [/mm] also
[mm] G=(I+L^{t})^{-1}L(I+L)^{-1}L^{t} [/mm]

Zeige G ist ähnlich zu [mm] BB^{t} [/mm] mit [mm] B=(I+L)^{-1}L [/mm]

Meine Idee: [mm] BB^{t}=((I+L)^{-1}L)((I+L)^{-1}L)^{t}=(I+L)^{-1}LL^{t}(I+L^{t})^{-1} [/mm]

Ab hier komme ich nicht weiter, ich weiß, dass Ähnlichkeit bedeutet, dass es eine invertierbare Matrix Z geben muss mit [mm] G=Z^{-1}BB^{t}Z [/mm]

c) [mm] I-BB^{t} [/mm] ist genau dann positiv definit, wenn [mm] (I+L)^{-1}A(I+L)^{t} [/mm] positiv definit ist.
Habe ich.

d) Das Verfahren konvergiert für alle Startvektoren [mm] x^{0} \in \IR^{n} [/mm] genau dann wenn A positiv definit ist.
Hier habe ich leider nichts zu.

Mfg

        
Bezug
Gauß Seidel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 10:39 Di 06.12.2016
Autor: Schmetterling99

Die b) habe ich jetzt auch noch hinbekommen.
Bei a) weiß ich immer noch nicht weiter und bei d) habe ich leider noch keine Idee, außer, dass es mit dem Spektralradius zu tun haben muss.
Vielleicht weiß jemand bei diesen Teilaufgaben weiter?
Mfg

Bezug
                
Bezug
Gauß Seidel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:21 Do 08.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Gauß Seidel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:21 Di 06.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Gauß Seidel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:31 Di 06.12.2016
Autor: Schmetterling99

Wie in meinem zweiten Post schon geschrieben, bin ich immer noch an dem ersten und letzten Aufgabenteil interessiert.

MfG

Bezug
                        
Bezug
Gauß Seidel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Do 08.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Numerik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]