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Gamma-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 So 09.02.2014
Autor: moody

Aufgabe
V = [mm] C^1([0,1]), [/mm] darauf sind die [mm] \Gamma_i [/mm] : V [mm] \to \IR [/mm] defininiert:

[mm] \Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1), \Gamma_4(f):=f'(1) [/mm]
i = 1,2,3,4
j = 1,2,3,4 und das Polynom ist 3. Grades.

[mm] \Gamma_i(N_j)=\begin{cases} \mbox{falls} i=j & 1 \\ \mbox{ansonsten} & 0 \end{cases} [/mm]

Zeigen sie:

$p(x) = [mm] f(0)N_1(x) [/mm] + [mm] f'(0)N_2(x) [/mm] + [mm] f(1)N_3(x) [/mm] + [mm] f'(0)N_4(x)$ [/mm]

erfüllt [mm] \Gamma_i(f) [/mm] = [mm] \Gamma_i(p). [/mm]


Guten abend,

zu der Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz. Das Skript stellt die Gamma-Funktion kurz vor, danach geht es mit dem nächsten Kapitel weiter.

Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich die Funktion auf das Polynom anwenden soll. Mein Ansatz wäre folgender:

[mm] $\Gamma_1(p) [/mm] = f(0) [mm] \Gamma_1(N_1(x)) [/mm] + [mm] f'(0)\Gamma_1(N_2(x)) [/mm] + [mm] f(1)\Gamma_1(N_3(x)) [/mm] + [mm] f'(0)\Gamma_1(N_4(x))$ [/mm]

Und damit wären alle Summanden 0, ausser  [mm] $f(0)\Gamma_1(N_1(x))$ [/mm] und ich hätte

[mm] $\Gamma_1(p) [/mm] =  f(0) $

analog dann für 2-4. Bleiben die f(0), f'(0) unberührt wenn ich die Funktion anwende?

Und wie kann ich anschließend meine [mm] $N_j$ [/mm] bestimmen?

lg moody

        
Bezug
Gamma-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:40 Mo 10.02.2014
Autor: fred97


> [mm]\Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1). \Gamma_4(f):=f'(1)[/mm]
>  
> [mm]\Gamma_i(N_j)=\begin{cases} \mbox{falls} i=j & 1 \\ \mbox{ansonsten} & 0 \end{cases}[/mm]
>  
> Zeigen sie:
>
> [mm]p(x) = f(0)N_1(x) + f'(0)N_2(x) + f(1)N_3(x) + f'(0)N_4(x)[/mm]
>  
> erfüllt [mm]\Gamma_i(f)[/mm] = [mm]\Gamma_i(p).[/mm]
>  Guten abend,
>  
> zu der Aufgabe fehlt mir jeglicher Ansatz. Das Skript
> stellt die Gamma-Funktion kurz vor, danach geht es mit dem
> nächsten Kapitel weiter.
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher wie ich die Funktion auf das
> Polynom anwenden soll. Mein Ansatz wäre folgender:
>  
> [mm]\Gamma_1(p) = f(0) \Gamma_1(N_1(x)) + f'(0)\Gamma_1(N_2(x)) + f(1)\Gamma_1(N_3(x)) + f'(0)\Gamma_1(N_4(x))[/mm]
>  
> Und damit wären alle Summanden 0, ausser  
> [mm]f(0)\Gamma_1(N_1(x))[/mm] und ich hätte
>  
> [mm]\Gamma_1(p) = f(0)[/mm]
>  
> analog dann für 2-4. Bleiben die f(0), f'(0) unberührt
> wenn ich die Funktion anwende?

Da Du über die [mm] \Gamma_j [/mm] nur wenig verraten hast, kann man Dir diese Frage nicht beantworten.

Wenn [mm] \Gamma_j [/mm] linear ist, so funktioniert das so, wie Du es oben gemacht hast.


>  
> Und wie kann ich anschließend meine [mm]N_j[/mm] bestimmen?

Auch diese Frage kann man mit den spärlichen Informationen nicht beantworten.

FRED

>  
> lg moody


Bezug
                
Bezug
Gamma-Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:19 Mo 10.02.2014
Autor: moody

Danke fred für die die Antwort!

V = [mm] C^1([0,1]), [/mm] darauf sind die [mm] \Gamma_i [/mm] : V [mm] \to \IR [/mm] defininiert.

i = 1,2,3,4

j = 1,2,3,4 und das Polynom ist 3. Grades.

Mehr ist nicht gegeben.

lg moody

Bezug
                        
Bezug
Gamma-Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:57 Mo 10.02.2014
Autor: fred97


> Danke fred für die die Antwort!
>  
> V = [mm]C^1([0,1]),[/mm] darauf sind die [mm]\Gamma_i[/mm] : V [mm]\to \IR[/mm]
> defininiert.

Wie sind die definiert ????

FRED

>
> i = 1,2,3,4
>  
> j = 1,2,3,4 und das Polynom ist 3. Grades.
>  
> Mehr ist nicht gegeben.
>  
> lg moody


Bezug
                                
Bezug
Gamma-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mo 10.02.2014
Autor: moody


> Wie sind die definiert ????

wie im Eingangspost bereits beschrieben:

$ [mm] \Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1). \Gamma_4(f):=f'(1) [/mm] $

Und die Vorlesung sagt zu

[mm] \Gamma(x+1)=x\Gamma(x) [/mm]
[mm] \Gamma(x+1):= \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt} [/mm]

Ich habe meinen Eingangspost dahingehend nochmal ediert.

lg moody

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Bezug
Gamma-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Mo 10.02.2014
Autor: fred97


> > Wie sind die definiert ????
>  
> wie im Eingangspost bereits beschrieben:
>  
> [mm]\Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1). \Gamma_4(f):=f'(1)[/mm]
>  
> Und die Vorlesung sagt zu
>  
> [mm]\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)[/mm]
>  [mm]\Gamma(x+1):= \integral_{0}^{\infty}{t^{x-1}e^{-t} dt}[/mm]

ich denke, dass die Gamma-Funktion mit den obigen [mm] \Gamma_j [/mm] nix zu tun hat.

FRED

>  
> Ich habe meinen Eingangspost dahingehend nochmal ediert.
>
> lg moody


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Bezug
Gamma-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 Mo 10.02.2014
Autor: MaslanyFanclub

Hallo,

ich sehe hier keinerlei Zusammenhang zur Gamma-Funktion. Wo siehst du den?

Wobei mir andere Sachen nicht klar sind:
Was ist [mm] $N_j$ [/mm] ? Irgendwas soll Polynom drittes Grades sein, was genau?
Und du hast zwei Definitionen für die [mm] $\Gamma_i$. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Gamma-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:04 Mo 10.02.2014
Autor: moody


> Hallo,
>  
> ich sehe hier keinerlei Zusammenhang zur Gamma-Funktion. Wo
> siehst du den?

Parameterintegrale & die Gamma-Funktion sind das Thema der zugehörigen Vorlesung, und die Funktionale sind mit [mm] \Gamma [/mm] benannt.

> Wobei mir andere Sachen nicht klar sind:
>  Was ist [mm]N_j[/mm] ? Irgendwas soll Polynom drittes Grades sein,
> was genau?

p(x)

> Und du hast zwei Definitionen für die [mm]\Gamma_i[/mm].

Wo das?

Also mir ist hier selbst nicht wirklich klar was nun was sein soll, ich finde die Aufgabe gibt einem nicht gerade viele Informationen.

So wie ich die Lage sehe:

Es gibt eine Funktion f(x), mit den Bedinungen [mm] \Gamma_i [/mm]

Dazu weiß ich das ein Polynom 3. Grades diese Bedingungen erfüllen soll. Was mir die Definition [mm] \Gamma_i(N_j) [/mm] nun genau helfen soll weiß ich auch nicht. Ich denke es soll auf darauf hinaus laufen, dass das Polynom die Funktion in den genannten Punkten fitted.

lg moody


Bezug
                        
Bezug
Gamma-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Mo 10.02.2014
Autor: MaslanyFanclub


> > Hallo,
>  >  
> > ich sehe hier keinerlei Zusammenhang zur Gamma-Funktion. Wo
> > siehst du den?
>  Parameterintegrale & die Gamma-Funktion sind das Thema der
> zugehörigen Vorlesung, und die Funktionale sind mit [mm]\Gamma[/mm]
> benannt.

Nun die Funktionale sind mit [mm] $\Gamma_i$ [/mm] benannt und es sind reellwertige Funktionale. Die Gamma-Funktion ist eine Abb. von den komplexen Zahlen in die komplexen.  Mit der selben Begründung könnte ich auch sagen, dass p hier wär eine Primzahl weil man Primzahlen immer mit p schreibt.

>  > Wobei mir andere Sachen nicht klar sind:

>  >  Was ist [mm]N_j[/mm] ? Irgendwas soll Polynom drittes Grades
> sein,
> > was genau?
> p(x)

Und was ist denn jetzt [mm] $N_j$? [/mm]

>  > Und du hast zwei Definitionen für die [mm]\Gamma_i[/mm].

> Wo das?
>  

$ [mm] \Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1), \Gamma_4(f):=f'(1) [/mm] $
und
$ [mm] \Gamma_i(N_j)=\begin{cases} \mbox{falls} i=j & 1 \\ \mbox{ansonsten} & 0 \end{cases} [/mm] $

> Also mir ist hier selbst nicht wirklich klar was nun was
> sein soll, ich finde die Aufgabe gibt einem nicht gerade
> viele Informationen.
>  

Ich glaube eher du bist es der die Informationen nicht richtig wiedergibst.

> So wie ich die Lage sehe:
>  
> Es gibt eine Funktion f(x), mit den Bedinungen [mm]\Gamma_i[/mm]
>  
> Dazu weiß ich das ein Polynom 3. Grades diese Bedingungen
> erfüllen soll. Was mir die Definition [mm]\Gamma_i(N_j)[/mm] nun
> genau helfen soll weiß ich auch nicht. Ich denke es soll
> auf darauf hinaus laufen, dass das Polynom die Funktion in
> den genannten Punkten fitted.
>  
> lg moody
>  


Bezug
                                
Bezug
Gamma-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Mo 10.02.2014
Autor: moody

Aufgabe
Es sei V = [mm] C^1([0,1]). [/mm] Auf dem Intervall [0,1] seien 4 Funktionale [mm] \Gamma_i: [/mm] V [mm] \to \IR, [/mm] i = 1,2,3,4 definiert durch (Vergleiche Vorlesung):
[mm] \Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1), \Gamma_4(f):=f'(1) [/mm]
Die kanonische Basis [mm] N_j, [/mm] j=1,2,3,4 der Polynome vom Grad 3 bezüglich der gewählten Funktionale [mm] \Gamma_i, [/mm] i=1,2,3,4 ist definiert durch
[mm] \Gamma_i(N_j)=\begin{cases} \mbox{falls} i=j & 1 \\ \mbox{ansonsten} & 0 \end{cases} [/mm]

Zeigen Sie

$p(x) = [mm] f(0)N_1(x) [/mm] + [mm] f'(0)N_2(x) [/mm] + [mm] f(1)N_3(x) [/mm] + [mm] f'(0)N_4(x)$ [/mm]

erfüllt [mm] \Gamma_i(f) [/mm] = [mm] \Gamma_i(p) [/mm] i=1,2,3,4.



edit: Ich sehe gerade, dass ich Eingangs [mm] N_j [/mm] nicht als Basis beschrieben habe [weisswerd]

lg moody

Bezug
                                        
Bezug
Gamma-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:36 Mo 10.02.2014
Autor: MaslanyFanclub

Damit macht das ganze Sinn.
Und die Aufgabe ziemlich banal: Die [mm] $\Gamma_i$ [/mm] sind linear(!) und damit steht die Gleichheit eigentlich schon da.

Bezug
                                                
Bezug
Gamma-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:47 Mo 10.02.2014
Autor: moody


> Damit macht das ganze Sinn.
>  Und die Aufgabe ziemlich banal: Die [mm]\Gamma_i[/mm] sind
> linear(!) und damit steht die Gleichheit eigentlich schon
> da.

Vielen Dank und ich entschuldigung für die unnötige Verwirrung durch die unvollständige Aufgabenstellung.

lg moody

Bezug
                                        
Bezug
Gamma-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 Mo 10.02.2014
Autor: fred97


> Es sei V = [mm]C^1([0,1]).[/mm] Auf dem Intervall [0,1] seien 4
> Funktionale [mm]\Gamma_i:[/mm] V [mm]\to \IR,[/mm] i = 1,2,3,4 definiert
> durch (Vergleiche Vorlesung):
>  [mm]\Gamma_1(f):=f(0), \Gamma_2(f):=f'(0), \Gamma_3(f):=f(1), \Gamma_4(f):=f'(1)[/mm]
>  
> Die kanonische Basis [mm]N_j,[/mm] j=1,2,3,4 der Polynome vom Grad 3
> bezüglich der gewählten Funktionale [mm]\Gamma_i,[/mm] i=1,2,3,4
> ist definiert durch
>  [mm]\Gamma_i(N_j)=\begin{cases} \mbox{falls} i=j & 1 \\ \mbox{ansonsten} & 0 \end{cases}[/mm]
>  
> Zeigen Sie
>  
> [mm]p(x) = f(0)N_1(x) + f'(0)N_2(x) + f(1)N_3(x) + f'(0)N_4(x)[/mm]
>  
> erfüllt [mm]\Gamma_i(f)[/mm] = [mm]\Gamma_i(p)[/mm] i=1,2,3,4.
>  
>
> edit: Ich sehe gerade, dass ich Eingangs [mm]N_j[/mm] nicht als
> Basis beschrieben habe [weisswerd]
>  
> lg moody


  Warum nicht gleich so ??????


FRED

Bezug
                                                
Bezug
Gamma-Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:46 Mo 10.02.2014
Autor: moody


> Warum nicht gleich so ??????

Ich hatte das Übungsblatt nicht zur Hand und habe aus meinem Ordner abgeschrieben [verlegen]

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