matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-SonstigesFunktionenfolgen Konvergenz
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Funktionenfolgen Konvergenz
Funktionenfolgen Konvergenz < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Funktionenfolgen Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:42 So 17.05.2015
Autor: Emma23

Aufgabe
Untersuchen Sie folgende Funktionenfolge [mm] (f_{n}) [/mm] und deren erste Ableitung auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz
[mm] f_{n}:\IR\to\IR, f_n=\bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}} [/mm]

Hallo. Ich brauche mal Hilfe bei der Aufgabe. Folgendes habe ich schon:

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} 1-\bruch{2}{(x^{2n} +2)} [/mm]
Punktweise Konvergenz für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}=f(x) [/mm] mit
[mm] f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{für } |x|=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|>1\end{cases}. [/mm]
Keine Gleichmäßige Konvergenz von [mm] f_{n}, [/mm] da f unstetig.

[mm] f'_{n}=\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2} [/mm]
Und da hörts bei mir auf... Ist [mm] \bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2} [/mm] nicht das gleiche wie [mm] \bruch{4nx^{2n}}{(x^{2n}+2)^{2}*4nx}? [/mm]

Wäre dankbar für Hilfe!

LG

        
Bezug
Funktionenfolgen Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:38 So 17.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} 1-\bruch{2}{(x^{2n} +2)}[/mm]
>  
> Punktweise Konvergenz für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}=f(x)[/mm]
> mit
> [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{für } |x|=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|>1\end{cases}.[/mm]

Auch wenn ich die Notwendigkeit deines Umformungsschritts nicht erkenne, stimmt dein Ergebnis, bis auf den Fall x=0

> Keine Gleichmäßige Konvergenz von [mm]f_{n},[/mm] da f unstetig.

Na hier mangelt es noch etwas an der Begründung. Für die konstante Folge [mm] $f_n(x) [/mm] = [mm] \text{sgn}(x)$ [/mm]  ist der Grenzwert $f(x) = [mm] \text{sgn}(x)$ [/mm] ebenfalls unstetig, die Konvergenz aber sehr wohl gleichmäßig.

> [mm]f'_{n}=\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm]

[ok]

>  Und da hörts bei mir auf... Ist
> [mm]\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm] nicht das gleiche wie
> [mm]\bruch{4nx^{2n}}{(x^{2n}+2)^{2}*4nx}?[/mm]

Nein, aber es gilt für [mm] $x\not= [/mm] 0$:
[mm] $\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{4nx^{2n}}{x(x^{2n}+2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}} [/mm] * [mm] \bruch{4n}{x^{2n}+2} [/mm] = [mm] f_n(x) [/mm] * [mm] \bruch{4n}{x^{2n}+2} [/mm] $

Für den Fall $|x| [mm] \le [/mm] 0$ empfielt sich aber trotzdem der erste Ausdruck und die Kenntnis, dass [mm] $n*x^n \to [/mm] 0$

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Funktionenfolgen Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 So 17.05.2015
Autor: Emma23


> Hiho,
>  
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} 1-\bruch{2}{(x^{2n} +2)}[/mm]
>  
> >  

> > Punktweise Konvergenz für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}=f(x)[/mm]
> > mit
> > [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{für } |x|=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|>1\end{cases}.[/mm]
>  
> Auch wenn ich die Notwendigkeit deines Umformungsschritts
> nicht erkenne, stimmt dein Ergebnis, bis auf den Fall x=0

Aber wenn ich x=0 einsetze, dann komme ich ebenfalls auf 0. Warum stimmt das nicht?

>  
> > Keine Gleichmäßige Konvergenz von [mm]f_{n},[/mm] da f unstetig.
>  
> Na hier mangelt es noch etwas an der Begründung. Für die
> konstante Folge [mm]f_n(x) = \text{sgn}(x)[/mm]  ist der Grenzwert
> [mm]f(x) = \text{sgn}(x)[/mm] ebenfalls unstetig, die Konvergenz
> aber sehr wohl gleichmäßig.

Aber wie soll ich das denn vernünftig zeigen? Muss ich da auch ne Fallunterscheidung machen? Sonst macht man das ja immer mit [mm] \sup_{x\in\IR}|f_{n}(x)-f(x)|. [/mm]

>  
> > [mm]f'_{n}=\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm]
>  [ok]
>  >  Und da hörts bei mir auf... Ist
> > [mm]\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm] nicht das gleiche wie
> > [mm]\bruch{4nx^{2n}}{(x^{2n}+2)^{2}*4nx}?[/mm]
>  
> Nein, aber es gilt für [mm]x\not= 0[/mm]:
>  
> [mm]\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2} = \bruch{4nx^{2n}}{x(x^{2n}+2)^2} = \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}} * \bruch{4n}{x^{2n}+2} = f_n(x) * \bruch{4n}{x^{2n}+2}[/mm]
>  
> Für den Fall [mm]|x| \le 0[/mm] empfielt sich aber trotzdem der
> erste Ausdruck und die Kenntnis, dass [mm]n*x^n \to 0[/mm]
>  

Also da habe ich jetzt für die punktweise Konvergenz
[mm] f'(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \infty , & \mbox{für } |x|=1 \\ 0, & \mbox{für } |x|>1 \end{cases} [/mm]

> Gruß,
>  Gono

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Funktionenfolgen Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 So 17.05.2015
Autor: leduart

Hallo
besser für x=1 keine Konvergenz, sonst richtig.
Gruss leuart

Bezug
                        
Bezug
Funktionenfolgen Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:18 Mo 18.05.2015
Autor: fred97


> > Hiho,
>  >  
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}}= \limes_{n\rightarrow\infty} 1-\bruch{2}{(x^{2n} +2)}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Punktweise Konvergenz für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f_{n}=f(x)[/mm]
> > > mit
> > > [mm]f(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \bruch{1}{3}, & \mbox{für } |x|=1 \\ 1, & \mbox{für } |x|>1\end{cases}.[/mm]
>  
> >  

> > Auch wenn ich die Notwendigkeit deines Umformungsschritts
> > nicht erkenne, stimmt dein Ergebnis, bis auf den Fall x=0
>  
> Aber wenn ich x=0 einsetze, dann komme ich ebenfalls auf 0.
> Warum stimmt das nicht?

Es stimmt. Es ist [mm] f_n(0)=0 [/mm] für alle n. Was Gono hier nicht gefällt, ist mir auch nicht klar.



>  >  
> > > Keine Gleichmäßige Konvergenz von [mm]f_{n},[/mm] da f unstetig.
>  >  
> > Na hier mangelt es noch etwas an der Begründung. Für die
> > konstante Folge [mm]f_n(x) = \text{sgn}(x)[/mm]  ist der Grenzwert
> > [mm]f(x) = \text{sgn}(x)[/mm] ebenfalls unstetig, die Konvergenz
> > aber sehr wohl gleichmäßig.
>  
> Aber wie soll ich das denn vernünftig zeigen?


Es fehlt in der Begründung: alle [mm] f_n [/mm] sind stetig.




>  Muss ich da
> auch ne Fallunterscheidung machen? Sonst macht man das ja
> immer mit [mm]\sup_{x\in\IR}|f_{n}(x)-f(x)|.[/mm]
>  >  
> > > [mm]f'_{n}=\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm]
>  >  [ok]
>  >  >  Und da hörts bei mir auf... Ist
> > > [mm]\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2}[/mm] nicht das gleiche wie
> > > [mm]\bruch{4nx^{2n}}{(x^{2n}+2)^{2}*4nx}?[/mm]
>  >  
> > Nein, aber es gilt für [mm]x\not= 0[/mm]:
>  >  
> > [mm]\bruch{4nx^{2n-1}}{(x^{2n}+2)^2} = \bruch{4nx^{2n}}{x(x^{2n}+2)^2} = \bruch{x^{2n}}{2+x^{2n}} * \bruch{4n}{x^{2n}+2} = f_n(x) * \bruch{4n}{x^{2n}+2}[/mm]
>  
> >  

> > Für den Fall [mm]|x| \le 0[/mm] empfielt sich aber trotzdem der
> > erste Ausdruck und die Kenntnis, dass [mm]n*x^n \to 0[/mm]
>  >  
> Also da habe ich jetzt für die punktweise Konvergenz
>  [mm]f'(x)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } |x|<1 \\ \infty , & \mbox{für } |x|=1 \\ 0, & \mbox{für } |x|>1 \end{cases}[/mm]

Dazu hat leduart schon etwas gesagt.

FRED

>  
> > Gruß,
>  >  Gono
>
> Grüße


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]