matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFourier-TransformationFourierkoeffizienten
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Fourier-Transformation" - Fourierkoeffizienten
Fourierkoeffizienten < Fourier-Transformati < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Fourier-Transformation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Fourierkoeffizienten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Mi 27.08.2014
Autor: RunOrVeith

Aufgabe
Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine 2 [mm] \pi [/mm] periodische Funktion, die auf [mm] [-\pi,\pi) [/mm] gegeben ist durch:
f(x)= -x, falls x [mm] \in [-\pi,0) [/mm]
       0, falls x [mm] \in [0,\pi) [/mm]
(Andere Formatierung will irgendwie nicht)

Berechnen sie die Reelle Fourierreihe [mm] s_f [/mm] von f.


Ich habe die Musterlösung vor mir und komme auch weitgehend auf das gleiche Ergebnis, nur bei einer Sache brauche ich Hilfe.
[mm] a_0 [/mm] = [mm] \pi/2 [/mm]   , das habe ich auch
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2*\pi}*(-1+(-1)^n) [/mm]   ,das habe ich auch.
[mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm]  , da habe ich etwas leicht anderes.
Mein Rechenweg:

[mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x*sin(nx) dx} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{x*sin(nx) dx} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{\pi}*([x*cos(nx)*\bruch{1}{n} ]^0_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{0}{cos(nx)*\bruch{1}{n} dx} [/mm] =
- [mm] \bruch{1}{n\pi}*((0-((-\pi)*(-1)^n) [/mm] - 0 ) =
- [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm]

Laut Musterlösung ist der Schritt
[mm] \bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x *sin(nx) dx} [/mm] =
[mm] -\bruch{1}{n\pi}*([-x*cos(nx)] ^0_{\pi}+\integral_{-\pi}^{0}{cos(nx) dx}) [/mm]
Genau das macht den Unterschied im Vorzeichen aus am Ende, leider komme ich einfach nicht darauf, was bei mir falsch ist.
Der Rest ist ja dann einfach noch:
[mm] s_f(x)= \bruch{a_0}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_n *cos(nx)+b_n*sin(nx)) [/mm]

Vielen Dank für die Hilfe!

        
Bezug
Fourierkoeffizienten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Mi 27.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine 2 [mm]\pi[/mm] periodische Funktion, die auf
> [mm][-\pi,\pi)[/mm] gegeben ist durch:
>  f(x)= -x, falls x [mm]\in [-\pi,0)[/mm]
>         0, falls x [mm]\in [0,\pi)[/mm]
>  
> (Andere Formatierung will irgendwie nicht)
>  
> Berechnen sie die Reelle Fourierreihe [mm]s_f[/mm] von f.
>  
> Ich habe die Musterlösung vor mir und komme auch
> weitgehend auf das gleiche Ergebnis, nur bei einer Sache
> brauche ich Hilfe.
>  [mm]a_0[/mm] = [mm]\pi/2[/mm]   , das habe ich auch
>  [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{1}{n^2*\pi}*(-1+(-1)^n)[/mm]   ,das habe ich
> auch.
>  [mm]b_n[/mm] = [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm]  , da habe ich etwas leicht
> anderes.
>  Mein Rechenweg:
>  
> [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x*sin(nx) dx}[/mm] =
>  [mm]-\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{x*sin(nx) dx}[/mm] =
>  [mm]-\bruch{1}{\pi}*([x*cos(nx)*\bruch{1}{n} ]^0_{-\pi}-\integral_{-\pi}^{0}{cos(nx)*\bruch{1}{n} dx}\red{)}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



wie Du selbst unten schreibst, machst Du hier den Fehler. Ich berechne
mal

    $\int x*\sin(nx)dx$

per partieller Integration:
Eine Stammfunktion von $x \mapsto \sin(n*x)$ ist $x \mapsto \red{-\,}\frac{1}{n}\cos(nx)$ (beachte $\cos'=\red {-\;}\sin$) und
daher

    $\int x\sin(nx)dx=\left[x*\frac{\red{-1}}{n}\cos(nx)}\right]-\int \underbrace{(x)'}_{=\red{+\,}1}*\frac{\red{-1}}{n}\cos(nx)dx$

Vielleicht bist Du ein wenig durcheinandergekommen und hast mit $(-x)\,$ an
einer Stelle gearbeitet, wo eigentlich "$(x)\,$" hingehört?

> =
> - [mm]\bruch{1}{n\pi}*((0-((-\pi)*(-1)^n)[/mm] - 0 ) =
>  - [mm]\bruch{(-1)^n}{n}[/mm]
>  
> Laut Musterlösung ist der Schritt
>  [mm]\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x *sin(nx) dx}[/mm] =
>  [mm]-\bruch{1}{n\pi}*([-x*cos(nx)] ^0_{\pi}+\integral_{-\pi}^{0}{cos(nx) dx})[/mm]

So ist das korrekt, siehe oben!
(Allerdings erst, wie Du es oben schreibst:

    [mm] $\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x *sin(nx) dx}=\red{\,-\,}\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{x *sin(nx) dx}$ [/mm]

schreiben und dann partiell integrieren. Auch, wenn das so nicht direkt
nötig wäre und man auch direkt

    [mm] $\bruch{1}{\pi} \integral_{-\pi}^{0}{-x *sin(nx) dx}$ [/mm]

partiell integrieren könnte!)

Gruß,
  Marcel

> Genau das macht den Unterschied im Vorzeichen aus am Ende,
> leider komme ich einfach nicht darauf, was bei mir falsch
> ist.
> Der Rest ist ja dann einfach noch:
>  [mm]s_f(x)= \bruch{a_0}{2}+\summe_{n=1}^{\infty}(a_n *cos(nx)+b_n*sin(nx))[/mm]
>  
> Vielen Dank für die Hilfe!


Bezug
                
Bezug
Fourierkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:07 Mi 27.08.2014
Autor: RunOrVeith

Vielen Dank, das ist natürlich einleuchtend. Komisch, dass ich da nicht selbst drauf gekommen bin, wenn man den ganzen Tag nichts anderes macht steht man wohl manchmal auf dem Schlauch :)

Schönen Tag noch!

Bezug
                        
Bezug
Fourierkoeffizienten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:31 Mi 27.08.2014
Autor: Marcel

Hi,

> Vielen Dank, das ist natürlich einleuchtend.

gerne.

> Komisch, dass
> ich da nicht selbst drauf gekommen bin, wenn man den ganzen
> Tag nichts anderes macht steht man wohl manchmal auf dem
> Schlauch :)

Naja, diesbezüglich gibt es nur drei Ratschläge:
1. Die Sachen einfach mal weglegen, etwas ganz anderes machen und zu
einem späteren Zeitpunkt nochmal draufgucken (evtl. gar an einem
anderen Tag). Dann hat man nicht das Problem, dass das Gehirn sich an
die gleichen Gedanken gewöhnt hat und man ein und den selben Fehler
immer wieder wiederholt.

2. Alle Schritte detailliert aufschreiben. So sieht man evtl. durch das
Aufschreiben eines Zwischenschritts, welchen Gedankenfehler man
ständig gemacht hat.

3. Jemand anderen fragen und drübergucken lassen. ;-)
  

> Schönen Tag noch!

Dir auch, Danke!

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Fourier-Transformation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]