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Fourier-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 So 10.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Hallo!

Ich habe gelesen, dass die Fourier-Matrix [mm] T_n = (w^0,...,w^{n-1}) \in \IC^{nxn} [/mm] mit [mm] w^k = (w_n^{0k},...,w_n^{(n-1)k})^T [/mm] mit [mm] w_n=e^{i2 \pi / n} [/mm] nur n verschiedene Einträge hat, die in zyklischer Art angeordnet sind, weshalb die Multiplikation einen geringeren Aufwand hat als [mm] O(n^2). [/mm]

Ich bin direkt mal über die "n verschiedenen Einträge" gestolpert. Ich bin darauf gekommen, dass [mm] T_n [/mm] symmetrisch ist, wodurch es statt [mm] n^2 [/mm] verschiedenen Einträgen nur n! verschiedene Einträge sind. Hier muss wohl die zyklische Anordnung noch eine Verringerung hervorrufen, aber das sagt mir nichts. Kann mir jemand weiter helfen?

Liebe Grüße, Lily

        
Bezug
Fourier-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:50 So 10.07.2016
Autor: fred97

ich denke, dass es deine Einsicht beträchtlich erhöht,wenn du dir die Fälle n=2 und n=3 vornimmst. das sollte dann auch den allgemeinen Fall klären

fred

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Fourier-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:27 So 10.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Hallo!

Das habe ich schon gemacht. Dabei kommt raus:

[mm] T_2= \pmat{ w_2^0 & w_2^0 \\ w_2^0 & w_2^1 } [/mm] Hier sieht man: [mm] T_2 [/mm] ist symmetrisch und es kommen n=2 verschiedene Einträge vor

[mm] T_3= \pmat{ w_3^0 & w_3^0 &w_3^0 \\ w_3^0 & w_3^1 & w_3^2 \\ w_3^0 & w_3^2 & w_3^4 } [/mm] Hier ist das nicht mehr so eindeutig: [mm] T_3 [/mm] ist zwar symmetrisch, aber es gibt 4 verschiedene Einträge. Außer (könnte das sein?), wenn man [mm] w_3^k = w_3^{k mod 3} [/mm] setzt... dann wäre [mm] w_3^4=w_3^1 [/mm] und es würde wieder stimmen. Ist das mit der "zyklischen Art" gemeint?
Dann wäre es ja klar: es kann nur [mm] w_n^k [/mm] mit k [mm] \in [/mm] {0,...,n-1} geben und damit sind es genau n Einträge... ?

Liebe Grüße,
Lily

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Fourier-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 So 10.07.2016
Autor: fred97


> Hallo!
>  
> Das habe ich schon gemacht. Dabei kommt raus:
>  
> [mm]T_2= \pmat{ w_2^0 & w_2^0 \\ w_2^0 & w_2^1 }[/mm] Hier sieht
> man: [mm]T_2[/mm] ist symmetrisch und es kommen n=2 verschiedene
> Einträge vor
>  
> [mm]T_3= \pmat{ w_3^0 & w_3^0 &w_3^0 \\ w_3^0 & w_3^1 & w_3^2 \\ w_3^0 & w_3^2 & w_3^4 }[/mm]
> Hier ist das nicht mehr so eindeutig: [mm]T_3[/mm] ist zwar
> symmetrisch, aber es gibt 4 verschiedene Einträge. Außer
> (könnte das sein?), wenn man [mm]w_3^k = w_3^{k mod 3}[/mm]
> setzt... dann wäre [mm]w_3^4=w_3^1[/mm]

so ist es.


> und es würde wieder
> stimmen. Ist das mit der "zyklischen Art" gemeint?

ja


>  Dann wäre es ja klar: es kann nur [mm]w_n^k[/mm] mit k [mm]\in[/mm]
> {0,...,n-1} geben und damit sind es genau n Einträge... ?

ja

fred


>  
> Liebe Grüße,
>  Lily


Bezug
                                
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Fourier-Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 So 10.07.2016
Autor: Mathe-Lily

Aha! Danke :-)

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