matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenFlächeninhalt geschl. Kurve
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Flächeninhalt geschl. Kurve
Flächeninhalt geschl. Kurve < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Flächeninhalt geschl. Kurve: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:27 Fr 28.11.2014
Autor: Calculu

Aufgabe
Der Flächeninhalt A einer pos. orientierten einfach geschlossenen Kurve [mm] \alpha(t)=(x(t), [/mm] y(t)) mit t [mm] \in [/mm] [a,b] wird wie folgt berechnet:
A = - [mm] \integral_{a}^{b}{y(t)x'(t) dt} [/mm]

Mir ist nicht klar wie man auf diese Formel kommt.
Über einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.


        
Bezug
Flächeninhalt geschl. Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:16 Fr 28.11.2014
Autor: fred97


> Der Flächeninhalt A einer pos. orientierten einfach
> geschlossenen Kurve [mm]\alpha(t)=(x(t),[/mm] y(t)) mit t [mm]\in[/mm] [a,b]
> wird wie folgt berechnet:
>  A = - [mm]\integral_{a}^{b}{y(t)x'(t) dt}[/mm]
>  Mir ist nicht klar
> wie man auf diese Formel kommt.
>  Über einen Hinweis wäre ich sehr dankbar.

Das ist ein Spezialfall (eine Folgerung) aus dem Gaußschen Integralsatz im [mm] \IR^2. [/mm]

FRED

>  


Bezug
                
Bezug
Flächeninhalt geschl. Kurve: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 Fr 28.11.2014
Autor: Calculu

Viele Dank für die schnelle Antwort.
Hast du einen Link wo dieser Spezialfall hergeleitet wird. Möglichst verständlich.
Viele Grüße.

Bezug
                        
Bezug
Flächeninhalt geschl. Kurve: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:03 Fr 28.11.2014
Autor: fred97


> Viele Dank für die schnelle Antwort.
> Hast du einen Link wo dieser Spezialfall hergeleitet wird.
> Möglichst verständlich.
> Viele Grüße.  

Ich mach es Dir vor:

Sei $A$ eine messbare und beschränkte Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] und [mm] $\alpha(t)=(x(t),y(t))$ [/mm] , $(t [mm] \in [/mm] [a,b])$,  eine stückweise stetig differenzierbare Kurve mit [mm] $\alpha([a,b])= \partial [/mm] A$. Sei weiter $G$ eine offene Teilmenge des [mm] \IR^2 [/mm] mit $A [mm] \subseteq [/mm] G$ und seien

     $P,Q: G [mm] \to \IR$ [/mm]  stetig differenzierbare Funktionen.

Dann besagt der Integralsatz von Gauß:

   (*)   $  [mm] \integral_{A}^{}{(Q_x-P_y) d(x,y)}=\integral_{\alpha}^{}{(P dx+Q dy)}$ [/mm]

1. Wählt man $P(x,y)=-y$  und $Q(x,y)=0$, so folgt aus (*):

    $  [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}=\integral_{\alpha}^{}{(-y )dx}=\integral_{a}^{b}{(-y(t))x'(t) dt}$ [/mm]

Beachte: [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}= [/mm] Flächeninhalt von A.

2.  Wählt man $P(x,y)=0$  und $Q(x,y)=x$, so folgt aus (*):

    $  [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}=\integral_{\alpha}^{}{x dy}=\integral_{a}^{b}{x(t)y'(t) dt}$ [/mm]

Wieder ist  [mm] \integral_{A}^{}{1* d(x,y)}= [/mm] Flächeninhalt von A.

3. Wählt man $P(x,y)=-y$ und $Q(x,y)=x$, so bekommt man eine weitere hübsche Formel für den Flächeninhalt von A. Welche ?

FRED



Bezug
                                
Bezug
Flächeninhalt geschl. Kurve: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:43 Sa 29.11.2014
Autor: Calculu

Vielen lieben Dank, Fred!


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]