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Forum "Integralrechnung" - Fläche Berechnung
Fläche Berechnung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Fläche Berechnung: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 So 13.07.2014
Autor: Sema4Ever

Hallo,

Durch die Funktionen f(x)=2 , [mm] g(x)=e^x [/mm] und [mm] h(x)=x^3 [/mm] mit jeweils x [mm] \in \IR [/mm] und die y-Achse wird eine Fläche begrenzt. Skizzieren Sie diese Fläche und berechnen Sie ihren Inhalt.

Also ich habe es zuerst skizziert habe auch die Fläche die ich berechnen muss mein problem sind nur die Grenzwerte [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] also was ich bei a und b einsetzen soll. Falls jemand eine Idee der soll bitte schreiben.
Danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
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Fläche Berechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:59 So 13.07.2014
Autor: M.Rex

Hallo

Hast du dir mal eine Skizze gemacht?

[Dateianhang nicht öffentlich]

Du musst für die Integratuionsgrenzen die x-Koordinaten berechnen, für die h(x)=2 bzw g(x)=2. Und das darf im Studium kein Problem darstellen.

Das ganze ist nachher sicher nicht nur mit einem Integral lösbar.

Marius
 

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Fläche Berechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:12 So 13.07.2014
Autor: Sema4Ever

Also heisst das dass ich alles gleich null setze [mm] e^x-2-x^3=0 [/mm] und dann somit [mm] e^x=2+x^3 [/mm]  / * ln
[mm] lnx=ln(2+x^3) [/mm] erhalte?

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Fläche Berechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:20 So 13.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Also heisst das dass ich alles gleich null setze
> [mm]e^x-2-x^3=0[/mm] und dann somit [mm]e^x=2+x^3[/mm] / * ln
> [mm]lnx=ln(2+x^3)[/mm] erhalte?

Nein, das ist gleich in mehrfacher Hinsicht völliger Unsinn. M.Rex hat dir doch den Rechenweg aufgezeigt:

Berechne mal die Stellen, an denen die waagerechte Gerade y=2 die beiden anderen Funktionen schneidet. Löse also konkret die Gleichungen

[mm] e^x=2 [/mm]

sowie

[mm] x^3=2 [/mm]

nach x auf.

Diese Werte benötigst du (auch das wurde schon gesagt) als Integrationsgrenzen. Denn du musst die Fläche in zwei Teilintegrale aufsplitten, da zwar das Schaubild von [mm] h(x)=x^3 [/mm] überall Unterkurve ist, die Oberkurve jedoch am Schnittpunkt von f und g wechselt.

Und irgendwas läuft hier schief: entweder hast du die gegebenen Hinweise nicht gründlich genug verarbeitet, oder du hast hier ziemlich eklatante Wissenslücken (bitte nicht als Vorwurf auffassen). Dann wäre es für dich sicherlich zielführend, vor dem Rechnen solcher Aufgaben diesen Stoff nochmals zu rekapitulieren, den man grob gesprochen so benennen kann: Berechnung von krummlinig berandeten Flächen im Rahmen der Schulmathematik.


Gruß, Diophant

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Fläche Berechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:33 So 13.07.2014
Autor: Sema4Ever

Noch eine letzte Frage muss ich auch die umkehrfunktion bilden ?

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Fläche Berechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:36 So 13.07.2014
Autor: M.Rex


> Noch eine letzte Frage muss ich auch die umkehrfunktion
> bilden ?

Wozu das? Brauchst du beim Integrieren die Umkehrfunktion?


Als Kontrolle:
Der Inhalt der blauen Fläche ist ca 0,95FE.

Marius

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Fläche Berechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:37 So 13.07.2014
Autor: Sema4Ever

Nein der Fläche ist nicht ca 0,95 FE sondern 1,50 FE.

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Fläche Berechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:41 So 13.07.2014
Autor: M.Rex


> Nein der Fläche ist nicht ca 0,95 FE sondern 1,50 FE.

Das stimmt so nicht, zeige deine Rechnung.

Marius

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Fläche Berechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:45 So 13.07.2014
Autor: Sema4Ever

Hab das Ergebnis vom Prof. dass das 1,50 FE ist also muss das auch stimmen

[mm] A=\integral_{0}^{ln(2)}{e^x dx} [/mm] + [mm] \integral_{ln(2)}^{\wurzel[3]{2}}{x^3dx} [/mm]

Alles muss man natürlich auch ins Betrag setzen. l-1l + l 0,455 l = 1,455 FE und das Ergebnis vom Prof ist auch [mm] \approx [/mm] 1,50 FE

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Fläche Berechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 So 13.07.2014
Autor: Sema4Ever

die 1 en habe ich eig als betragseichen benutzt aber sieht nicht so gut aus also damit du es weisst die 1 dazwischen soll ein betrag Zeichen sein

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Fläche Berechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:18 So 13.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hab das Ergebnis vom Prof. dass das 1,50 FE ist also muss
> das auch stimmen

>

> [mm]A=\integral_{0}^{ln(2)}{e^x dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{ln(2)}^{\wurzel[3]{2}}{x^3dx}[/mm]

>

> Alles muss man natürlich auch ins Betrag setzen. l-1l + l
> 0,455 l = 1,455 FE und das Ergebnis vom Prof ist auch
> [mm]\approx[/mm] 1,50 FE

Das ist mit Verlaub alles höherer Blödsinn. Bei den Integralen angefangen bis zu deiner merkwürdigen Begründung. Das einzige, was hier stimmt, ist das Resultat deines Professors.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                                        
Bezug
Fläche Berechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:39 So 13.07.2014
Autor: rmix22


> Hab das Ergebnis vom Prof. dass das 1,50 FE ist also muss
> das auch stimmen

Naja, das mit dem "müssen" ist so eine Sache - auch Professoren können irren, aber in diesem Fall hat der deine Recht.

>  
> [mm]A=\integral_{0}^{ln(2)}{e^x dx}[/mm] [mm] +\integral_{ln(2)}^{\wurzel[3]{2}}{x^3dx}/mm] [/mm]
>  
> Alles muss man natürlich auch ins Betrag setzen. l-1l + l
> 0,455 l = 1,455 FE und das Ergebnis vom Prof ist auch
> [mm]\approx[/mm] 1,50 FE

Also ich stimme ja noch damit überein, dass das Ergebnis ca. 1,5 ist, genauer:
[mm] $A=\frac{3}{2}*\wurzel[3]{2}+1-ln(4)\approx{1,5036}$. [/mm]

Aber da hats noch was mit deinem Ansatz:
1) Dein Ansatz berechnet nicht die gewünschte Flache. Nur mit der Addition von zwei Integralen ist es da nicht getan!
2) Wenn ich deinen Ansatz nachrechne, erhalte ich nicht 1,455 sondern 1,572. Also hast du dich beim zweiten Integral auch noch verrechnet.

Gruß RMix


Bezug
                                                                
Bezug
Fläche Berechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:49 So 13.07.2014
Autor: Diophant

Hallo Marius,

> > Nein der Fläche ist nicht ca 0,95 FE sondern 1,50 FE.

>

> Das stimmt so nicht, zeige deine Rechnung.

Doch es stimmt. Rechne nochmal nach. Ich gebe dir aber völlig Recht, dass man dies alles vermeiden könnte, wenn Fragesteller ihre Rechnungen in angemessener Form präsentieren würden.

Gruß, Diophant

Bezug
                                                        
Bezug
Fläche Berechnung: Richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:47 So 13.07.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Nein der Fläche ist nicht ca 0,95 FE sondern 1,50 FE.

Ja, das ist so. Da wird sich M.Rex irgendwo verrechnet haben.

Gruß, Diophant

 

Bezug
                                                                
Bezug
Fläche Berechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:22 So 13.07.2014
Autor: M.Rex

Hallo Ihr

>

> > Nein der Fläche ist nicht ca 0,95 FE sondern 1,50 FE.

>

> Ja, das ist so. Da wird sich M.Rex irgendwo verrechnet
> haben.

Ich hab den Fehler gefunden, ich hab ein Integral vergessen.

>

> Gruß, Diophant

>

Marius

Bezug
                                        
Bezug
Fläche Berechnung: anderer Lösungsweg
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:56 So 13.07.2014
Autor: Al-Chwarizmi


> Noch eine letzte Frage: muss ich auch die Umkehrfunktion
> bilden ?

Nein, das musst du nicht.

Trotzdem wäre es wohl eine gute Übung, den gesuchten
Flächeninhalt auf eine neue Art via Umkehrfunktionen
zu berechnen.

Ich komme dabei auf folgende Rechnung:

   $\ A\ =\ [mm] \integral_{0}^{2}\wurzel[3]{y}\,dy\ [/mm] -\ [mm] \integral_{1}^{2}ln(y)\,dy$ [/mm]

mit dem Ergebnis  $\ A\ [mm] \approx\ [/mm] 1.5036$  (siehe Ergebnis von rmix22 !).

LG ,   Al-Chw.




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Bezug
Fläche Berechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:33 So 13.07.2014
Autor: angela.h.b.

Hallo,

auf Marius' schönem Bildchen kannst Du gut erkennen, wie Du die blaue Fläche bekommst:

berechne über dem Intervall [0,ln(2)] die Fläche unter dem Graphen von [mm] f(x)=e^x, [/mm]

berechne über dem Intervall [ln(2), [mm] 2^{\bruch{1}{3}}] [/mm] die Fläche unter dem Graphen von g(x)=2,

addiere diese Flächen und subtrahiere davon die Fläche unter dem Graphen von [mm] h(x)=x^3 [/mm] über dem Intervall [mm] [0,2^{\bruch{1}{3}}]. [/mm]

Wichtiger als jede Rechnung ist, daß Du verstehst, weshalb diese Vorgehensweise zum Ziel führt.

LG Angela

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