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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Mitschy |
| Aufgabe | Ermittel der Orginalfunktion mit Hilfe des Faltungsatzes.
[mm] F(p)=\bruch{a}{(p+\alpha)(p^{2}+\beta^{2})} [/mm]
mit [mm] \alpha,\beta=\IR [/mm] ; [mm] \beta\not=0
[/mm]
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Hallo Gemeinde,
Mein Ansatz:
[mm] L^{-1}\{a*\bruch{1}{p+\alpha}*\bruch{1}{p^{2}+\beta^{2}}\}= a*L^{-1}\{\bruch{1}{p+\alpha}\}\*L^{-1}\{\bruch{1}{p^{2}+\beta^{2}}\}
[/mm]
Kann ich das a einfach so aus der Laplace umstellung nehmen? Wenn nicht wie muss es richtig sein.
[mm] L^{-1}\{F(p)\}=a*\integral_{0}^{t}{e^{-\alpha*(t-u)}*\bruch{sin(\beta*u)}{\beta} du}
[/mm]
Das währe dann der Ansatz für die Faltung. Nur komme ich damit nicht auf die Lösung.
Ich vermute den Fehler in der Umstellung der Lapalce-Formel oben.
Danke für die Hilfe.
MfG Micha
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:33 Do 07.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Micha,
das a als Konstante kannst du mit gutem Gewissen vor die ganze Umformung ziehen. Die Rücktransformierte der beiden Multiplikatoren ist auch okay, das Integral müsste also richtig aufgestellt sein.
Wenn Du das Ergebnis kennst, schreibe es doch mal hier rein, vielleicht kommen wir dann gemeinsam weiter. Was hast Du denn als Ergebnis des Integrals rausbekommen?
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:49 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Mitschy |
Hab die Aufgabe nochmal versucht anscheind hab ich ein Problem bei dem Integral.
[mm] L^{-1}\{F(p)\}=a\cdot{}\integral_{0}^{t}{e^{-\alpha\cdot{}(t-u)}\cdot{}\bruch{sin(\beta\cdot{}u)}{\beta} du} [/mm] = [mm] \bruch{a}{\beta}\cdot{}e^{-\alpha\cdot t}*\integral_{0}^{t}{e^{\alpha\cdot u}\cdot{}sin(\beta\cdot{}u)du}
[/mm]
[mm] =\bruch{a}{\beta}\cdot{}e^{-\alpha\cdot t}*([e^{\alpha\cdot u}*\bruch{-cos(\beta*u)}{\beta}]+\integral_{0}^{t}{\alpha*e^{\alpha\cdot u}*\bruch{cos(\beta*u)}{\beta}du})
[/mm]
So leider würde das jetzt immer so weiter gehen wenn ich das Integral weiter mit der partiellen Integration bearbeite. Also ist hier mein Problem!
Die mir gegebene Lösung ist:
[mm] L^{-1}\{F(p)\}=\bruch{a}{\beta^2}*(e^{-\alpha*t}-cos(\beta*t)-\bruch{\alpha}{\beta}*sin(\beta*t))
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:49 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Mitschy,
bei diesen Aufgaben kann man ausnutzen, dass beim Integrieren, vom Vorzeichen mal abgesehen, sich der Sinus in den Cosinus, dann wieder in den Sinus, dann wieder in den Cosinus wandelt etc.
Wenn Du also jetzt Dein Integral, das noch in der Lösung steht, nochmal partiell integrierst, ensteht wieder ein weiteres Integral mit dem Sinus. Das kannst Du auf die linke Seite holen und so umformen, dass da etwas in der Form
c * Integral (Sinus) = ......
steht. Das Ganze durch c teilen, und Du hast Die Lösung für Dein ursprüngliches Integral. Ist etwas Rechenarbeit und man verhaut sich gerne bei den Vorzeichen, aber wenn man das weiss, kann man ja darauf aufpassen.
Ich habe auf die Schnelle in einer Integralsammlung das Integral nachgeschlagen, da erhält man
$$ [mm] \int \exp^{ax} \sin [/mm] bx [mm] \, [/mm] dx = [mm] \bruch{\exp^{ax}}{a^2+b^2} [/mm] ( a [mm] \sin [/mm] bx - b [mm] \cos [/mm] bx) [mm] \, [/mm] . $$
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:33 Di 12.01.2010 | | Autor: | Mitschy |
Ach kalr wozu hat man denn nur die Integraltafeln! Ich Depp!
Danke für die Hilfe.
Gruß Mitschy
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