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Existenz von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Di 28.07.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
a) Existiert eine holomorphe Funktion f: [mm] \IC [/mm] \ [mm] \pi \IZ [/mm] --> [mm] \IC [/mm] mit exp(f(z))= sin(z) für alle z [mm] \in \IC [/mm] \ [mm] \pi \IZ [/mm] ?
b) Bestimme alle ganzen Funktionen g mit |g(z)| [mm] \le [/mm] |z-2| für alle z [mm] \in \IC [/mm]


Hallo,

zu a) Es ist ja äquivalent: G ist einfach zusammenhängend <-> Jede nullstellenfreie holomorphe Funktion g: G--> [mm] \IC [/mm] hat einen hol. Logarithmus.

g(z)=sin(z) ist ja holomorph und nullstellenfrei auf  [mm] \IC [/mm] \ [mm] \pi \IZ [/mm] . Die Frage ist jetzt nur ob [mm] \IC [/mm] \ [mm] \pi \IZ [/mm] einfach zusammenhängend ist, hier würde ich nein sagen. D.h. es gäbe keine solche Fkt, oder?

zu b) Hier vermute ich den Satz von Liouville. Alle konstanten Funktionen mit c [mm] \le [/mm] 0 und c=1 erfüllen ja die Bedingung.

        
Bezug
Existenz von Funktionen: Lesbarkeit TEX
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:40 Di 28.07.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> a) Existiert eine holomorphe Funktion f: [mm]\IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ[/mm] -->
> [mm]\IC[/mm] mit [mm]e^{f(z)}=[/mm] sin(z) für alle z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ?[/mm]
>  b)
> Bestimme alle ganzen Funktionen g mit |g(z)| [mm]\le[/mm] |z-2| für
> alle z [mm]\in \IC[/mm]
>  Hallo,
>  
> zu a) Es ist ja äquivalent: G ist einfach zusammenhängend
> <-> Jede nullstellenfreie holomorphe Funktion g: G--> [mm]\IC[/mm]
> hat einen hol. Logarithmus.
>  
> g(z)=sin(z) ist ja holomorph und nullstellenfrei auf [mm]\IC[/mm] \
> [mm]\pi \IZ.[/mm] Die Frage ist jetzt nur ob [mm]\IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ[/mm] einfach
> zusammenhängend ist, hier würde ich nein sagen. D.h. es
> gäbe keine solche Fkt, oder?
>  
> zu b) Hier vermute ich den Satz von Liouville. Alle
> konstanten Funktionen mit c [mm]\le[/mm] 0 und c=1 erfüllen ja die
> Bedingung.


Hallo Trikolon,

in der angegebenen Version ist die Aufgabe nur teilweise lesbar.
Du solltest die TEX-Teile richtig zwischen die entsprechenden
Symbole packen.

LG ,   Al

Bezug
                
Bezug
Existenz von Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:00 Di 28.07.2015
Autor: Trikolon

Habe es überarbeitet

Bezug
        
Bezug
Existenz von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Di 28.07.2015
Autor: fred97


> a) Existiert eine holomorphe Funktion f: [mm]\IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ[/mm] -->
> [mm]\IC[/mm] mit exp(f(z))= sin(z) für alle z [mm]\in \IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ[/mm] ?
>  b) Bestimme alle ganzen Funktionen g mit |g(z)| [mm]\le[/mm] |z-2|
> für alle z [mm]\in \IC[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> zu a) Es ist ja äquivalent: G ist einfach zusammenhängend
> <-> Jede nullstellenfreie holomorphe Funktion g: G--> [mm]\IC[/mm]
> hat einen hol. Logarithmus.
>  
> g(z)=sin(z) ist ja holomorph und nullstellenfrei auf  [mm]\IC[/mm] \
> [mm]\pi \IZ[/mm] . Die Frage ist jetzt nur ob [mm]\IC[/mm] \ [mm]\pi \IZ[/mm] einfach
> zusammenhängend ist, hier würde ich nein sagen.


Da hast Du recht.



> D.h. es
> gäbe keine solche Fkt, oder?

Na, na. Diesen Schluss kannst Du nicht ziehen !


>  
> zu b) Hier vermute ich den Satz von Liouville. Alle
> konstanten Funktionen mit c [mm]\le[/mm] 0 und c=1 erfüllen ja die
> Bedingung.


Auf [mm] \IC \setminus \{2\} [/mm] setze [mm] h(z):=\bruch{g(z)}{z-2}. [/mm] h ist holomorph und es ist |h(z)| [mm] \le [/mm] 1 auf [mm] \IC \setminus \{2\}. [/mm]

h hat also in 2 ene hebbare Singularität (warum ?)

Sei f die holomorphe Fortsetzung von h auf [mm] \IC. [/mm]

Zeige: f ist auf [mm] \IC [/mm] beschränkt.

FRED


Bezug
                
Bezug
Existenz von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Di 28.07.2015
Autor: Trikolon

Wie kann ich Teil a) dann sonst angehen?

Bezug
                        
Bezug
Existenz von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Mi 29.07.2015
Autor: fred97

Nehmen wir an, es gäbe eine solche Funktion f.

Dann hat f in den Punkten [mm] $z_k:=k \pi$ [/mm] isolierte Singularitäten. Für einen Widerspruch genügt es, den Punkt [mm] z_0=0 [/mm] zu untersuchen.

Es ist [mm] $|sin(z)|=|e^{f(z)}|=e^{Re(f(z))} \to [/mm] 0$ für $z [mm] \to z_0$ [/mm]

Das bedeutet:


(*) $Re(f(z)) [mm] \to [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] für $z [mm] \to z_0$, [/mm]

also

    $|f(z)| [mm] \to \infty$ [/mm] für $z [mm] \to z_0$. [/mm]

f hat also in [mm] z_0=0 [/mm] einen Pol. Es ex. also ein r>0 mit:

   f hat in [mm] \{z \in \IC: 0<|z|
und

  die holomorphe Fortsetzung von g (diese bez. ich wieder mit g) hat in  [mm] $U:=\{z \in \IC: |z|
Dann ist $G:=g(U)$ offen. Es ex. also ein R>0 mit [mm] \{z \in \IC:|z|
Wir können von R=1 ausgehen. Für n [mm] \in \IN [/mm] ist dann $1/n [mm] \in [/mm] G$. Somit ex. ein [mm] v_n \in [/mm] U mit

    [mm] $g(v_n)=1/n$, [/mm]

also mit

     [mm] $f(v_n)=n$. [/mm]

Zeige nun Du: [mm] (v_n) [/mm] ist eine Nullfolge.

Damit haben wir: [mm] $f(v_n) \to [/mm] + [mm] \infty$, [/mm] im Widerspruch zu (*)

FRED

Bezug
                
Bezug
Existenz von Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:29 Mi 29.07.2015
Autor: Trikolon

Das h in 2 hebbar ist folgt ja dann aus dem Riemannschen Hebbarkeitssatz. Aber dann ist ja h holomorph auf [mm] \IC [/mm] und beschränkt und damit konstant, oder? Aber wie sehen dann die gesuchten Funktionen aus?

Bezug
                        
Bezug
Existenz von Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:56 Do 30.07.2015
Autor: fred97


> Das h in 2 hebbar ist folgt ja dann aus dem Riemannschen
> Hebbarkeitssatz.

Ja

Aber dann ist ja h holomorph auf [mm]\IC[/mm] und

> beschränkt und damit konstant, oder?

Ja

> Aber wie sehen dann
> die gesuchten Funktionen aus?

Sag mal, das ist doch nur noch ein winziger Schritt: f sei die holomorphe Fortsetzung von h auf [mm] \IC. [/mm] f ist beschränkt, |f| [mm] \le [/mm] 1 auf [mm] \IC. [/mm]

Es gibt also ein c [mm] \in \IC [/mm] mit f(z)= c für alle z [mm] \in \IC. [/mm]

Fazit: g(z)=c(z-2)  für alle z [mm] \in \IC \setminus \{2\}. [/mm]

Weiter ist |c| [mm] \le [/mm] 1.

FRED




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