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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Elliptive Kurve Nicht Zyklisch
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Elliptive Kurve Nicht Zyklisch: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:47 Mi 21.12.2016
Autor: MarcHe

Aufgabe
Sei [mm] $E(a,b,\IF_p)$ [/mm] mit $p>3$. Wenn [mm] $T^3+aT+b \in \IF_p[T]$ [/mm] in Linearfaktoren zerfällt, dann ist [mm] $E(a,b,\IF_p)$ [/mm] nicht zyklisch.

Hallo,

zu der obigen Aufgaben habe die folgenden Ansätze. Also wenn [mm] $E(a,b,\IF_p)$ [/mm] nicht zyklisch ist, dann entspricht [mm] $E(a,b,\IF_p) \cong \IZ [/mm] / [mm] d_1\IZ \times \IZ [/mm] / [mm] d_2\IZ$ [/mm] wobei [mm] $d_1|d_2$ [/mm] gilt. Wenn [mm] $d_1=1$ [/mm] dann wäre die Kurve ja zyklisch. Wie könnte ich dies zeigen? Die Anzahl der Punkte der Kurve ist ja auch [mm] $N=d_1*d_2$. [/mm]

Könnte ich vielleicht mithilfe eines Widerspruches mit [mm] $d_1=1$ [/mm] zu der obigen Aussage kommen?


Viele Grüße,
Marc

        
Bezug
Elliptive Kurve Nicht Zyklisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:10 Do 22.12.2016
Autor: hippias

Ich kenne mich mit dem Thema nicht sonderlich aus, würde aber die von den auf der $x$-Achse liegenden Punkten erzeugte Gruppen betrachten und vermuten, dass die jeweils anderen Punkte auf der $x$-Achse darin nicht enthalten sind.

Bezug
                
Bezug
Elliptive Kurve Nicht Zyklisch: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:56 Fr 23.12.2016
Autor: MarcHe

Also wenn $ [mm] T^3+aT+b \in \IF_p[T] [/mm] $ in seine Linearfaktoren zerfällt kann ich doch schreiben $ [mm] T^3+aT+b [/mm] = [mm] (T-a_1)(T-a_2)(T-a_3)$, [/mm] also jeweils die bis zu 3 Nullstellen. Damit folgt doch dass dies auch Punkte auf der elliptischen Kurve sind nämlich [mm] $(a_1,0),(a_2,0)$ [/mm] und [mm] $(a_3,0)$, [/mm] also die von dir beschriebenen Punkte auf der x-Achse richtig?

Wie könnte es hier weiter gehen?

Bezug
        
Bezug
Elliptive Kurve Nicht Zyklisch: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:30 So 25.12.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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