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Elementare Definierbarkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:06 Do 24.04.2014
Autor: ac1989

Aufgabe
Sei [mm] \mathcal{A} [/mm] eine Struktur mit [mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] (\{0,1\}^{*}, [/mm] <, E, P ).
wobei < sei die Präfix-Relation: v < w gdw. w = vz für ein z [mm] \in \{0,1\}^{*} [/mm]
und E die Relation: (v,w) [mm] \in [/mm] E gdw. |v| = |w|.

Nun ist folgende Relation gegeben:
[mm] R=\{w \in \{0,1\}^{*} : |w| \ge 3\} [/mm]

Frage: Ist R nun elementar definierbar in der Struktur [mm] \mathcal{A}? [/mm]

Nun, dazu habe ich folgende Lösung gesehen:

[mm] \phi [/mm] (x) = [mm] \exists x_{1} \exists x_{2} \exists x_{3} \exists x_{4} \bigwedge_{i \not= j} \exists x_{i} \not=j \exists x_{j} \wedge \bigwedge_{i} \exists x_{i} [/mm] < x

meine Lösung war allerdings fast dasselbe:

[mm] \phi [/mm] (x) = [mm] \exists x_{1} \exists x_{2} \exists x_{3} \bigwedge_{i \not= j} \exists x_{i} \not=j \exists x_{j} \wedge \bigwedge_{i} \exists x_{i} [/mm] < x

Idee war halt: Ich nehme 3 Elemente, die alle unterschiedlich sind und alle
alle 3 sind Präfixe von x. Um das Präfix auszudrücken habe ich das < aus der Struktur genommen.

Aber:
wie Ihr sehen könnt hab ich ein Element weniger. Meine Frage lautet:
Wieso wurde in deren Lösung 4 Elemente genommen. Hat das irgendeine Bedeutung in der Prädikatenlogik ? Eigtl. müssten es doch 3 Elemente sein, da in der vorgegebenen Relation von mindestens 3 die Rede ist.



Ich hoffe jmd. kann mir da weiterhelfen....xD

        
Bezug
Elementare Definierbarkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:42 Do 24.04.2014
Autor: tobit09

Hallo ac1989!


> Sei [mm]\mathcal{A}[/mm] eine Struktur mit [mm]\mathcal{A}[/mm] =
> [mm](\{0,1\}^{*},[/mm] <, E, P ).
>  wobei < sei die Präfix-Relation: v < w gdw. w = vz für
> ein z [mm]\in \{0,1\}^{*}[/mm]
>  und E die Relation: (v,w) [mm]\in[/mm] E gdw.
> |v| = |w|.
>  
> Nun ist folgende Relation gegeben:
>  [mm]R=\{w \in \{0,1\}^{*} : |w| \ge 3\}[/mm]
>  
> Frage: Ist R nun elementar definierbar in der Struktur
> [mm]\mathcal{A}?[/mm]


>  Nun, dazu habe ich folgende Lösung gesehen:
>  
> [mm]\phi[/mm] (x) = [mm]\exists x_{1} \exists x_{2} \exists x_{3} \exists x_{4} \bigwedge_{i \not= j} \exists x_{i} \not=j \exists x_{j} \wedge \bigwedge_{i} \exists x_{i}[/mm]
> < x
>  
> meine Lösung war allerdings fast dasselbe:
>  
> [mm]\phi[/mm] (x) = [mm]\exists x_{1} \exists x_{2} \exists x_{3} \bigwedge_{i \not= j} \exists x_{i} \not=j \exists x_{j} \wedge \bigwedge_{i} \exists x_{i}[/mm]
> < x
>  
> Idee war halt: Ich nehme 3 Elemente, die alle
> unterschiedlich sind und alle
> alle 3 sind Präfixe von x. Um das Präfix auszudrücken
> habe ich das < aus der Struktur genommen.
>  
> Aber:
>  wie Ihr sehen könnt hab ich ein Element weniger. Meine
> Frage lautet:
>  Wieso wurde in deren Lösung 4 Elemente genommen. Hat das
> irgendeine Bedeutung in der Prädikatenlogik ? Eigtl.
> müssten es doch 3 Elemente sein, da in der vorgegebenen
> Relation von mindestens 3 die Rede ist.

Anscheinend übersiehst du ein Wort als mögliches Präfix.

Etwa das Wort $w:=00$ gehört nicht zu $R$, aber es hat drei verschiedene Präfixe: Das leere Wort, das Wort $0$ und $w$ selbst.

Also gilt für dein [mm] $\phi$ [/mm]

     [mm] $\mathcal{A}\models\phi[w]$ [/mm]

obwohl [mm] $w\notin [/mm] R$.


Viele Grüße
Tobias

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