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Einheitswurzel: Lösung der Gleichung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Di 22.04.2014
Autor: kBergemann

Aufgabe
Bestimme die Wurzeln der Gleichung:

[mm] \sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k} [/mm] =1

Dabei soll es nur eine begrenzte Anzahl an Werten die Wahrscheinlichkeit [mm] p_{k} [/mm] ungleich Null sein.

Hallo Zusammen,

ich habe folgenden charakteristische Gleichung, die sich aus dem einem Lösungsansatz einer homogenen, linearen Differenzengleichung ergibt:

[mm] \sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k} [/mm] =1

Diese Gleichung ist äquivalent zu einer algebraischen Gleichung vom Grad s. Die [mm] p_{k} [/mm] sind Wahrscheinlichkeiten.

Laut Literatur besitzt diese Gleichung zwei positive Wurzeln [mm] \theta_{1}und \theta_{2}. [/mm] Die eine ist [mm] \theta_{1}=1 [/mm] und die andere wird einfach als positives [mm] \theta_{2} [/mm] bezeichnet. Die Existenz der zweiten positiven Wurzel wird dadurch begründet, dass:

y= [mm] \sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k} [/mm]

betrachtet wird. Diese Funktion schneidet die Gerade g=1 an der Stelle [mm] \theta=1 [/mm]  und muss aufgrund ihrer Konvexität noch eine weiteren Schnittpunkt mit g=1 haben.

Meine Frage: (1) Woher weiß ich, dass es nur zwei Wurzel existieren, die diese Gleichung erfüllen ? Ich dachte, dass bei einer algebraischen Gleichung vom Grad s, theoretisch s Wurzel diese Gleichung lösen können.

(2) Warum muss die Funktion g noch einmal schneiden ?


Vielen Dank schon einmal, über ein paar Tipps würde ich mich sehr freuen !

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=539744

        
Bezug
Einheitswurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Di 22.04.2014
Autor: hippias

Ohne weitere Voraussetzungen ist die Funktion nicht konvex, noch schneidet sie die Gerade notwendig oefter als einmal. Gegenbeispiele erhaelt man fuer ungerades $s$ und Gleichverteilung (nur ein Schnittpunkt); bei geradem $s$ und Gleichverteilung hat man nur noch $-1$ als Schnittpunkt.

Bezug
                
Bezug
Einheitswurzel: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:22 Do 24.04.2014
Autor: kBergemann

Danke

Bezug
        
Bezug
Einheitswurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:20 Do 24.04.2014
Autor: fred97


> Bestimme die Wurzeln der Gleichung:
>  
> [mm]\sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k}[/mm] =1
>  
> Dabei soll es nur eine begrenzte Anzahl an Werten die
> Wahrscheinlichkeit [mm]p_{k}[/mm] ungleich Null sein.
>  Hallo Zusammen,
>
> ich habe folgenden charakteristische Gleichung, die sich
> aus dem einem Lösungsansatz einer homogenen, linearen
> Differenzengleichung ergibt:
>  
> [mm]\sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k}[/mm] =1
>  
> Diese Gleichung ist äquivalent zu einer algebraischen
> Gleichung vom Grad s. Die [mm]p_{k}[/mm] sind Wahrscheinlichkeiten.
>
> Laut Literatur besitzt diese Gleichung zwei positive
> Wurzeln [mm]\theta_{1}und \theta_{2}.[/mm]

Das ist Unfug !

Nehmen wir den Fall s=2. Also betrachten wir

  [mm] f(x)=\bruch{1}{2}(x+x^2). [/mm]

Es gilt:

    f(x)=1  [mm] \gdw [/mm]   x=1 oder x=-2.

FRED



> Die eine ist [mm]\theta_{1}=1[/mm]
> und die andere wird einfach als positives [mm]\theta_{2}[/mm]
> bezeichnet. Die Existenz der zweiten positiven Wurzel wird
> dadurch begründet, dass:
>  
> y= [mm]\sum_{k=1}^{s} p_{k} \theta^{k}[/mm]
>
> betrachtet wird. Diese Funktion schneidet die Gerade g=1 an
> der Stelle [mm]\theta=1[/mm]  und muss aufgrund ihrer Konvexität
> noch eine weiteren Schnittpunkt mit g=1 haben.
>  
> Meine Frage: (1) Woher weiß ich, dass es nur zwei Wurzel
> existieren, die diese Gleichung erfüllen ? Ich dachte,
> dass bei einer algebraischen Gleichung vom Grad s,
> theoretisch s Wurzel diese Gleichung lösen können.
>  
> (2) Warum muss die Funktion g noch einmal schneiden ?
>  
>
> Vielen Dank schon einmal, über ein paar Tipps würde ich
> mich sehr freuen !
>  
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=539744


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