matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare AbbildungenEigenwerte und Eigenvektoren
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Abbildungen" - Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Eigenwerte und Eigenvektoren: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Di 22.12.2015
Autor: Manu271

Aufgabe
Es sei $K$ [mm] \in \{\IR, \IC \} [/mm] und [mm] \{e_1,e_2,e_3 \} [/mm] die Standardbasis des [mm] K^3. [/mm] Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren des Endomorphismus [mm] L_k: K^3 \to K^3, [/mm] der durch
[mm] L_k(e_1)=e_2, L_k(e_2)=e_3 [/mm] und [mm] L_k(e_3)=e_1 [/mm] festgelegt ist.

Hallo,

ich habe obige Aufgabe als Übung erhalten und möchte wissen, was ihr von meiner Lösung haltet:

Aus [mm] L_k(e_1)=e_2, L_k(e_2)=e_3, L_k(e_3)=e_1 [/mm] folgt die darstellende Matrix bzgl. der Basis [mm] \{e_1,e_2,e_3\}: [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} [/mm]

Jetzt sei [mm] v=\vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3} \in K^3. [/mm]

[mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} \vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3}. [/mm]
Daraus folgt: [mm] v_3=\lambda v_1 [/mm]
              [mm] v_1=\lambda v_2 [/mm]
              [mm] v_2=\lambda v_3 [/mm]
und daraus folgt wiederum: [mm] \lambda [/mm] = 1 und v = [mm] \vektor{ w \\ w \\ w} [/mm] mit w [mm] \in [/mm] K.

Also ist der Eigenwert 1 und die Eigenvektoren alle Vektoren mit der Form [mm] \vektor{ w \\ w \\ w} [/mm] wobei w  [mm] \not= [/mm] 0.

Zumindest für den Fall [mm] K=\IR [/mm] sollte das doch stimmen, oder ?

Liebe Grüße

Manu271

        
Bezug
Eigenwerte und Eigenvektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:39 Mi 23.12.2015
Autor: fred97


> Es sei [mm]K[/mm] [mm]\in \{\IR, \IC \}[/mm] und [mm]\{e_1,e_2,e_3 \}[/mm] die
> Standardbasis des [mm]K^3.[/mm] Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte
> und Eigenvektoren des Endomorphismus [mm]L_k: K^3 \to K^3,[/mm] der
> durch
>  [mm]L_k(e_1)=e_2, L_k(e_2)=e_3[/mm] und [mm]L_k(e_3)=e_1[/mm] festgelegt
> ist.
>  Hallo,
>  
> ich habe obige Aufgabe als Übung erhalten und möchte
> wissen, was ihr von meiner Lösung haltet:
>  
> Aus [mm]L_k(e_1)=e_2, L_k(e_2)=e_3, L_k(e_3)=e_1[/mm] folgt die
> darstellende Matrix bzgl. der Basis [mm]\{e_1,e_2,e_3\}:[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
>
> Jetzt sei [mm]v=\vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3} \in K^3.[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0} \vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3}[/mm]
> = [mm]\lambda \vektor{ v_1 \\ v_2 \\ v_3}.[/mm]
>  Daraus folgt:
> [mm]v_3=\lambda v_1[/mm]
>                [mm]v_1=\lambda v_2[/mm]
>              
>   [mm]v_2=\lambda v_3[/mm]
>  und daraus folgt wiederum: [mm]\lambda[/mm] = 1
> und v = [mm]\vektor{ w \\ w \\ w}[/mm] mit w [mm]\in[/mm] K.
>  
> Also ist der Eigenwert 1 und die Eigenvektoren alle
> Vektoren mit der Form [mm]\vektor{ w \\ w \\ w}[/mm] wobei w  [mm]\not=[/mm]
> 0.
>  
> Zumindest für den Fall [mm]K=\IR[/mm] sollte das doch stimmen, oder
> ?

Ja, in diesem Fall bist Du fertig.

FRED

>  
> Liebe Grüße
>  
> Manu271


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Abbildungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]