Eigenraum Lemma Beweis < Eigenvalues/Eigenvectors < Uni-LinA u. Algebra < University < Maths <
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| Aufgabe | Beweisen Sie:
Lemma: Sei [mm] \lambda \in \IK [/mm] beliebig und sei [mm] E_{\lambda} [/mm] := {v [mm] \in [/mm] V | [mm] \alpha(v) [/mm] = [mm] \lambda [/mm] v } = [mm] Ker(\alpha [/mm] - [mm] \lambda I_d) [/mm]
Dann ist [mm] E_{\lambda} [/mm] ein Unterraum von V. |
Hallo! Ich habe mir nochmal zu Gemüte geführt, wie man zeigt, dass etw. ein Unterraum eines Vektorraums ist. Hier habe ich versucht dieses Lemma zu beweise, in der es in der Vorlesung kein Beweis zu gab. Ich würde mich freuen wenn mal jemand drüber schaut!
Beweis:
1) 0 [mm] \in [/mm] V ist auch in [mm] E_{\lambda}, [/mm] da:
[mm] (\alpha [/mm] - [mm] \lambda I_d) [/mm] 0 [mm] =\alpha [/mm] 0 - [mm] \lambda I_d [/mm] 0 = 0
2) Seien [mm] v_1, v_2 \in E_{\lambda}, \lambda_1 \in \IK, [/mm] s.d. gilt: [mm] \alpha(v_1) [/mm] - [mm] \lambda_1 v_1 [/mm] = 0 und [mm] \alpha(v_2) [/mm] - [mm] \lambda_1 v_2 [/mm] = 0
Dann:
[mm] (\alpha [/mm] - [mm] \lambda I_d)(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm]
= [mm] \alpha (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] - [mm] \lambda I_d (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm]
= [mm] \alpha (v_1) [/mm] + [mm] \alpha (v_2) [/mm] - [mm] \lambda I_d (v_1) [/mm] - [mm] \lambda I_d (v_2) [/mm] (alpha Homom.)
= [mm] \alpha (v_1) [/mm] - [mm] \lambda I_d (v_1) [/mm] + [mm] \alpha (v_2) [/mm] - [mm] \lambda I_d (v_2)
[/mm]
= 0 (Vor.)
3) Sei [mm] v_1 \in \E_{\lambda}, \lambda, \mu \in \IK, [/mm] s.d. gilt: [mm] \alpha(v_1) [/mm] = [mm] \lambda v_1
[/mm]
Dann:
[mm] (\alpha [/mm] - [mm] \lambda I_d)(\mu v_1) [/mm]
= [mm] \alpha (\mu v_1) [/mm] - [mm] \lambda I_d(\mu v_1) [/mm]
= [mm] \mu \alpha(v_1) [/mm] - [mm] \mu \lambda I_d(v_1) [/mm]
= [mm] \mu (\alpha(v_1) [/mm] - [mm] \lambda I_d(v_1))
[/mm]
= [mm] \mu [/mm] 0
= 0
4) [mm] E_{\lambda} [/mm] = [mm] Ker(\alpha [/mm] - [mm] \lambda I_d) \subseteq [/mm] V offensichtlich
Also [mm] E_{\lambda} [/mm] Unterraum von V [mm] \Box
[/mm]
Grüße, Kulli
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Hallo,
> Beweisen Sie:
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> Lemma: Sei [mm]\lambda \in \IK[/mm] beliebig und sei [mm]E_{\lambda}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:=
> {v [mm]\in[/mm] V | [mm]\alpha(v)[/mm] = [mm]\lambda[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
v } = [mm]Ker(\alpha[/mm] - [mm]\lambda I_d)[/mm]
> Dann ist [mm]E_{\lambda}[/mm] ein Unterraum von V.
> Hallo! Ich habe mir nochmal zu Gemüte geführt, wie man
> zeigt, dass etw. ein Unterraum eines Vektorraums ist. Hier
> habe ich versucht dieses Lemma zu beweise, in der es in der
> Vorlesung kein Beweis zu gab. Ich würde mich freuen wenn
> mal jemand drüber schaut!
>
> Beweis:
>
> 1) 0 [mm]\in[/mm] V ist auch in [mm]E_{\lambda},[/mm] da:
>
> [mm](\alpha[/mm] - [mm]\lambda I_d)[/mm] 0 [mm]=\alpha[/mm] 0 - [mm]\lambda I_d[/mm] 0 = 0
>
>
jep.
>
> 2) Seien [mm]v_1, v_2 \in E_{\lambda}, \lambda_1 \in \IK,[/mm] s.d.
> gilt: [mm]\alpha(v_1)[/mm] - [mm]\lambda_1 v_1[/mm] = 0 und [mm]\alpha(v_2)[/mm] -
> [mm]\lambda_1 v_2[/mm] = 0
>
> Dann:
>
> [mm](\alpha[/mm] - [mm]\lambda I_d)(v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm]
>
> = [mm]\alpha (v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm] - [mm]\lambda I_d (v_1[/mm] + [mm]v_2)[/mm]
>
> = [mm]\alpha (v_1)[/mm] + [mm]\alpha (v_2)[/mm] - [mm]\lambda I_d (v_1)[/mm] - [mm]\lambda I_d (v_2)[/mm]
> (alpha Homom.)
>
> = [mm]\alpha (v_1)[/mm] - [mm]\lambda I_d (v_1)[/mm] + [mm]\alpha (v_2)[/mm] - [mm]\lambda I_d (v_2)[/mm]
>
> = 0 (Vor.)
>
richtig.
>
> 3) Sei [mm]v_1 \in \E_{\lambda}, \lambda, \mu \in \IK,[/mm] s.d.
> gilt: [mm]\alpha(v_1)[/mm] = [mm]\lambda v_1[/mm]
>
> Dann:
>
> [mm](\alpha[/mm] - [mm]\lambda I_d)(\mu v_1)[/mm]
>
> = [mm]\alpha (\mu v_1)[/mm] - [mm]\lambda I_d(\mu v_1)[/mm]
>
> = [mm]\mu \alpha(v_1)[/mm] - [mm]\mu \lambda I_d(v_1)[/mm]
>
> = [mm]\mu (\alpha(v_1)[/mm] - [mm]\lambda I_d(v_1))[/mm]
>
> = [mm]\mu[/mm] 0
>
> = 0
>
genau.
>
>
> 4) [mm]E_{\lambda}[/mm] = [mm]Ker(\alpha[/mm] - [mm]\lambda I_d) \subseteq[/mm] V
> offensichtlich
>
> Also [mm]E_{\lambda}[/mm] Unterraum von V [mm]\Box[/mm]
![[daumenhoch]](http://m7.teximg.de/static/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
abkürzen könnte man das ganze, wenn in der VL bewiesen wurde, dass der kern jeder linearen abbildung ein unterraum ist. dann wären die eigenräume nur ein sonderfall dieser aussage.
gruss
matthias
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Moin, danke! Das haben wir auch bewiesen, aber ich wollte ja nur etwas die Beweisführung üben :-P
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