matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentiationDifferentiation nachweisen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Differentiation" - Differentiation nachweisen
Differentiation nachweisen < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Differentiation nachweisen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 So 18.01.2015
Autor: arraneo

Hallo zusammen,
Die Aufgabe lautet:

Es sei [mm] x_0\in(a,b) [/mm] und [mm] f:[a,b]\to\mathbb{R} [/mm] stetig und diff'bar auf [a,b] \ [mm] {x_0}. [/mm] Weiterhin existiere der Grenzwert [mm] \limes_{x\to x_0}f'(x)=:y. [/mm]
Zeigen Sie, dass dann f auch in [mm] x_0 [/mm] diff'bar ist mit der Ableitung [mm] f'(x_0)=y. [/mm] Kann auf die Stetigkeit im Punkt [mm] x_0 [/mm] verzichtet werden?

Meine Gedanken:

Wir hatten stets die Diff'barkeit von f in einem Punkt [mm] x_0 [/mm] dadurch definiert, dass den Grenzwert:

[mm] \limes_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert. (in diesem Fall ist er gleich y)

Weiterhin existiert diesen Grenzwert nur dann, wenn es gilt:
[mm] \limes_{x\nearrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\limes_{x\searrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm]
Worauf dann folgt : [mm] f'(x_0)=y. [/mm]  

Oder?


Zu der Frage, ob man auf die Stetigkeit in Punkt [mm] x_0 [/mm] verzichten kann, denke ich mir, jein, sprich die Funktion sollte in [mm] x_0 [/mm] mindestens stetigfortsetzbar sein, denn jeder differenzierbare Funktion ist ja auch stetig.

Könnte mir jemanden bitte dabei helfen, wie ich das ganze überhaupt (ausführlicher?) formulieren könnte?

vielen Dank !

        
Bezug
Differentiation nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:32 So 18.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo arraneo!


Du hast angenommen, dass [mm] $f\$ [/mm] in [mm] x_0 [/mm] differenzierbar ist, aber das
willst du doch eigentlich zeigen! Lies erneut genau die Voraus-
setzungen und betrachte anschließend den Differenzenquotienten
bzw. benutze den Mittelwertsatz.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Differentiation nachweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:58 So 18.01.2015
Autor: arraneo

hey DieAcht, danke für die Meldung,

ich verstehe leider noch nicht, wie den Mittelwertsatz da auftaucht :S

Ich verstehe aber was du geschrieben hast, nur weil die 2 seitigen Grenze gleich sind und überhaupt existieren, heißt es implizit nicht, dass die dann auch gleich [mm] f'(x_0) [/mm] sind.

Die Funktion muss aber allerdings stetig sein, sonst geht das gar nicht, denke ich ..

Könntest du mir bitte einen weiteren Tipp geben? :)

vielen Dank.

Bezug
                        
Bezug
Differentiation nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:41 Mo 19.01.2015
Autor: fred97

Du sollst zeigen, dass der Grenzwert


[mm] \limes_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert.

Dazu verwende den Mittelwertsatz.

FRED

Bezug
                                
Bezug
Differentiation nachweisen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:07 Mo 19.01.2015
Autor: arraneo

Hey Fred, ja das wurde auch davor geschrieben und ich kam damit einfach nicht weiter..

Der Satz sagt mir nur, dass die Steigung der Sekante durch a und b ist gleich die Steigung der Tangente eines Zwischenwertes . Mein Zwischenwert  muss ja nicht gerade [mm] x_0 [/mm] sein.

Umgekehrt, denke ich mir, an der Stelle [mm] x_0 [/mm] könnte man ein Intervall herum finden (a',b') wofür dann gelte: [mm] f'(x_0)=\frac{f(b')-f(a')}{b'-a'} [/mm]

Jetzt hatte ich mir überlegt, dass dieses Intervall wäre irgendwie in der form [mm] (x_0,x_0+h) [/mm]

[mm] \Rightarrow f'(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm]
Nun war aber [mm] \limes_{x\to x_0} [/mm] f'(x)=y [mm] \iff \limes_{h\to 0}f'(x_0-h)=y [/mm]

und [mm] \limes_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/mm] = [mm] f'(x_0)=y. [/mm]  

Ist das schon in die richtige Richtung?! :S

danke!!

Bezug
                                        
Bezug
Differentiation nachweisen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:18 Mo 19.01.2015
Autor: fred97


> Hey Fred, ja das wurde auch davor geschrieben und ich kam
> damit einfach nicht weiter..
>
> Der Satz sagt mir nur, dass die Steigung der Sekante durch
> a und b ist gleich die Steigung der Tangente eines
> Zwischenwertes . Mein Zwischenwert  muss ja nicht gerade
> [mm]x_0[/mm] sein.
>
> Umgekehrt, denke ich mir, an der Stelle [mm]x_0[/mm] könnte man ein
> Intervall herum finden (a',b') wofür dann gelte:
> [mm]f'(x_0)=\frac{f(b')-f(a')}{b'-a'}[/mm]
>  
> Jetzt hatte ich mir überlegt, dass dieses Intervall wäre
> irgendwie in der form [mm](x_0,x_0+h)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow f'(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0}=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm]
> Nun war aber [mm]\limes_{x\to x_0}[/mm] f'(x)=y [mm]\iff \limes_{h\to 0}f'(x_0-h)=y[/mm]
>
> und [mm]\limes_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}[/mm] = [mm]f'(x_0)=y.[/mm]  
>
> Ist das schon in die richtige Richtung?! :S

Nein.

Zu x [mm] \ne x_0 [/mm] gibt es nach dem MWS ein [mm] t_x [/mm] zwischen x und [mm] x_0 [/mm] mit

   [mm] \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0})=f'(t_x) [/mm]

Was treibt [mm] t_x [/mm] für x [mm] \to x_0 [/mm] ?

Was treibt [mm] f'(t_x) [/mm] für x [mm] \to x_0 [/mm] ?

Was treibt [mm] \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}) [/mm] für x [mm] \to x_0 [/mm] ?

FRED

>
> danke!!  


Bezug
                                                
Bezug
Differentiation nachweisen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:42 Mo 19.01.2015
Autor: arraneo

Hi,

Ich sehe den Unterschied nicht so wirklich? Du sagst, zwischen x und [mm] x_0 [/mm] gibt es ein [mm] t_x, [/mm] wo ich geschrieben hatte, zwischen [mm] x_0 [/mm] und [mm] x_0+h:= [/mm] x und hatte x einfach so definiert. Warum darf ich das nicht? :(

immerhin für [mm] x\to x_0 [/mm] : [mm] t_x\to x_0 [/mm] und weiterhin [mm] f'(t_x)\to f'(x_0) [/mm] d.h.

[mm] \limes_{x\to x_0}f'(t_x)=\limes_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'x_0)= [/mm] y

?

arraneo



Bezug
                                                        
Bezug
Differentiation nachweisen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Mi 21.01.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentiation"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]