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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Differentialgleichung lösen
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Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:50 Fr 21.11.2014
Autor: Trikolon

a)
Aufgabe
Löse die DGL (ggf. implizit)
[mm] 2xy^4e^y+2xy^3+y=(x^2y^2+3x-x^2y^4e^y) \bruch{dy}{dx} [/mm]



Hallo,

es wäre super, wenn ihr mir sagen könntet wie ich bei obiger DGL ansetzen kann? Hat es etwas mit exakten DGL zu tun?


b) Löse die DGL

[mm] x^2 [/mm] y''+xy'-y= xlnx

Hier setze ich z(t)=y(x(t)) mit [mm] x(t)=e^t [/mm] und erhalte z''-z=0 als homogene DGL. Stimmt das so?
Wie lautet denn die inhomogene DGL dann? [mm] z''-z=te^t? [/mm]


        
Bezug
Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Fr 21.11.2014
Autor: fred97


> a) Löse die DGL (ggf. implizit)
>  [mm]2xy^4e^y+2xy^3+y=(x^2y^2+3x-x^2y^4e^y) \bruch{dy}{dx}[/mm]
>  
>
> Hallo,
>  
> es wäre super, wenn ihr mir sagen könntet wie ich bei
> obiger DGL ansetzen kann? Hat es etwas mit exakten DGL zu
> tun?

Ja,prüfe auf Exaktheit.

>  
> b) Löse die DGL
>  
> [mm]x^2[/mm] y''+xy'-y= xlnx
>  
> Hier setze ich z(t)=y(x(t)) mit [mm]x(t)=e^t[/mm] und erhalte
> z''-z=0 als homogene DGL. Stimmt das so?
> Wie lautet denn die inhomogene DGL dann? [mm]z''-z=te^t?[/mm]

Alles richtig.

FRED

>  
>  


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Bezug
Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:30 Sa 22.11.2014
Autor: Trikolon

bei b) erhalte ich das Fundamentalsystem { [mm] e^t, e^{-t} [/mm] }. Dann führe ich die Variation der Konstanten durch: Wronski-det=-2
Und damit: [mm] z_p [/mm] (t)= [mm] 1/4e^t t^2 [/mm] - (1/4t [mm] e^t-1/8 e^t) [/mm] = [mm] e^t*(1/4t^2-1/4t+1/8) [/mm]

Stimmt das soweit?

Ich hänge jetzt bei der Rücksubstitution...


Bezug
                        
Bezug
Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:57 Sa 22.11.2014
Autor: fred97

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

> bei b) erhalte ich das Fundamentalsystem { [mm]e^t, e^{-t}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

}.

> Dann führe ich die Variation der Konstanten durch:
> Wronski-det=-2
>  Und damit: [mm]z_p[/mm] (t)= [mm]1/4e^t t^2[/mm] - (1/4t [mm]e^t-1/8 e^t)[/mm] =
> [mm]e^t*(1/4t^2-1/4t+1/8)[/mm]
>  
> Stimmt das soweit?

Keine Ahnung. Du zeigst Deine Rechnungen nicht und ich hab keine Lust, alles selbst zu rechnen.


>  
> Ich hänge jetzt bei der Rücksubstitution...

t=ln(x)

FRED

>  


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Differentialgleichung lösen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:38 Sa 22.11.2014
Autor: Trikolon

Ich habe das Ergebnis mal mit Wolfram Alpha berechnet:

Dort steht

[mm] \bruch{c_1(x^2+1)}{x}+\bruch{ic_2(x^2-1)}{2x}+1/8x(2lnx^2-2lnx+1) [/mm]

Sodass meine Lösung der inhomogenen Gleich ja stimmen würde. Mich irritiert allerdings der Teil [mm] \bruch{c_1(x^2+1)}{x}+\bruch{ic_2(x^2-1)}{2x}, [/mm] denn man löst ja die homogene Gleichung, indem man [mm] \lambda^2-1=0 [/mm] setzt, also erhält man als Fundamentalsystem { [mm] e^x, e^{-x} [/mm] }. Und entsprechend habe ich dann als allgemeine Lösung der homogenen Gleichung nach Rücksubstitution [mm] xc_1+c_2/x [/mm]

Könnte mir das bitte mal jmd erklären?

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Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Sa 22.11.2014
Autor: Trikolon

Und bei a) erhalte ich, dass die DGL nicht exakt ist:

die linke Seite nach y abgeleitet: [mm] 8xy^3e^y+2xy^4e^y+8xy^2+1 [/mm]

und die rechte Seite nach x abgeleitet: [mm] 2xy^2+3-2xy^4e^y [/mm]

und das ist ja ungleich.

Bezug
                                                
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Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:57 Sa 22.11.2014
Autor: notinX

Hallo,

> Und bei a) erhalte ich, dass die DGL nicht exakt ist:

Genau.

>  
> die linke Seite nach y abgeleitet:
> [mm]8xy^3e^y+2xy^4e^y+8xy^2+1[/mm]
>  
> und die rechte Seite nach x abgeleitet: [mm]2xy^2+3-2xy^4e^y[/mm]
>  
> und das ist ja ungleich.

Gruß,

notinX

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Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:31 So 23.11.2014
Autor: Trikolon

Und wie mache ich dann weiter?

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Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:39 So 23.11.2014
Autor: Thomas_Aut

Ich habe jetzt nicht die Zeit die DGl durchzurechnen - aber : suche einen integrierenden Faktor (falls sich einer finden lässt) - häufige sind M(x) = x, M(y) = y etc.

Viele Grüße

Thomas

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Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:40 So 23.11.2014
Autor: Trikolon

Diese beiden Faktoren funktionieren leider nicht... Ich finde aber auch sonst keinen...
Habt ihr noch eine Idee?
Ich hatte mal noch sowas wie v=ln(y) probiert, das klappt aber auch nicht..

Bezug
                                                                                
Bezug
Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 So 23.11.2014
Autor: MathePower

Hallo Trikolon,

> Diese beiden Faktoren funktionieren leider nicht... Ich
> finde aber auch sonst keinen... Habt ihr noch eine Idee?
>  Ich hatte mal noch sowas wie v=ln(y) probiert, das klappt
> aber auch nicht..


Versuche eine integrierenden Faktor M(xy) zu finden.


Gruss
MathePower

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Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 So 23.11.2014
Autor: Trikolon

Das ist leichter gesagt als getan. Ich habe ja gesucht,  bin aber nicht fündig geworden.

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Bezug
Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:04 So 23.11.2014
Autor: Thomas_Aut


> Das ist leichter gesagt als getan. Ich habe ja gesucht,  
> bin aber nicht fündig geworden.  

Hallo ,

Ich glaube Mathepower meint : M(xy) nehmen (d.h. f(x,y) =xy)


Gruß

Thomas


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Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 So 23.11.2014
Autor: Trikolon

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist das auch kein integrierender Faktor.

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Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:52 So 23.11.2014
Autor: Martinius

Hallo Trikolon,

so ich mich nicht verrechnet habe ist der integrierende Faktor  [mm] $I(y)\;=\;\frac{1}{y^4}$ [/mm] .

LG, Martinius

Bezug
                                                                                                                        
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Differentialgleichung lösen: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) richtig (detailiert geprüft) Status 
Datum: 17:46 Mo 24.11.2014
Autor: MathePower

Hallo Martinius,

> Hallo Trikolon,
>  
> so ich mich nicht verrechnet habe ist der integrierende
> Faktor  [mm]I(y)\;=\;\frac{1}{y^4}[/mm] .
>  


Der integrierende Faktor stimmt. [ok]


> LG, Martinius


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                        
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Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:25 Mo 24.11.2014
Autor: Trikolon

Danke!
Wie bist du darauf gekommen? Gibt es einen Trick? Oder hast du einfach ausprobiert?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Mo 24.11.2014
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

> Danke!
> Wie bist du darauf gekommen? Gibt es einen Trick? Oder hast
> du einfach ausprobiert?

Trick gibt es eigentlich keinen - wenn du nicht 'probieren' möchtest bleibt dir nichts anderes übrig als partielle DGl- zu lösen. (meist ist das aber ziemlich mühsam und somit probiert man die 'klassischen Ansätze' )

Wie das genau funktioniert:

Das wird allerdings in (fast) jedem Buch /Skript über gewöhnliche DGL im Kapitel zu exakten DGL zu finden sein.


Beste Grüße

Thomas




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Differentialgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 Mo 24.11.2014
Autor: Martinius

Hallo Trikolon,

> Danke!
> Wie bist du darauf gekommen? Gibt es einen Trick? Oder hast
> du einfach ausprobiert?


Probiert - "mit System". In folgenden zwei Büchern gibt es "Rezeptlisten".

[]Murray Spiegel, applied differential equations

und

[]Bronson/Costa, differential equations

Der zielführende Hinweis zur obigen DGL steht im Spiegel. Etwa: wenn die DGL diese oder jene Struktur hat könnte man diesen oder jenen integrierenden Faktor testen.

In unserem Fall:  [mm] $I(x,y)=x^p*y^q$ [/mm]

ergibt:  p=0  und  q=(-4)


LG, Martinius


Edit: Fehler berichtigt.


Bezug
                                                                                                                                        
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Differentialgleichung lösen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:34 Di 25.11.2014
Autor: Trikolon

Hallo,

könntest du die Rezeptliste (oder einen Ausschnitt davon) kurz hier posten?
Leider sind die Bücher nicht online verfügbar...

Danke im Voraus!

Bezug
                                                                                                                                                
Bezug
Differentialgleichung lösen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:20 Di 25.11.2014
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> könntest du die Rezeptliste (oder einen Ausschnitt davon)
> kurz hier posten?
>  Leider sind die Bücher nicht online verfügbar...

Vielleicht hilft Dir das:

http://www.math.uni-leipzig.de/~ackermann/pdf/Eulerfaktor.pdf

FRED

>  
> Danke im Voraus!


Bezug
                                                                                                                                                
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Differentialgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:01 Di 25.11.2014
Autor: Martinius

Hallo Trikolon,

falls Deine Uni-Bibliothek einen online verfügbaren Katalog hat - hattest Du schon Muße um zu prüfen, ob obige beiden Bücher dort vorhanden sind?

LG, Martinius

Bezug
                                                                                                                                                        
Bezug
Differentialgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:17 Mi 26.11.2014
Autor: Trikolon

Ich gerade geschaut,  das buch von Murray Spiegel ist bei uns nicht verfügbar.  Nur einige andere vom selben Autor.

Bezug
                                                                                                                                                                
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Differentialgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:08 Mi 26.11.2014
Autor: Martinius

Hallo Trikolon,

den Text abzutippen ist mir zuviel. Einen Scanner besitze ich leider nicht - abgesehen von evtl. Problemen mit dem Urheberrecht.

Ich müsste aber die nächsten Tage eh zum Copy-Shop & könnte Dir Kopien machen & per Post an Dich senden.

Du müsstest mir dazu Deine Adresse per PN über das Forum senden.

LG, Martinius

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Bezug
Differentialgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 Mi 26.11.2014
Autor: Trikolon

Warum gibt es denn zu dieser Antwort eine Korrekturmitteilung?

Bezug
                                                                                                                                
Bezug
Differentialgleichung lösen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:57 Mi 26.11.2014
Autor: Martinius

Hallo Trikolon,

weil MathePower so freundlich war meine Lösung auf Richtigkeit zu prüfen.

LG, Martinius

Bezug
                                        
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Differentialgleichung lösen: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:08 So 23.11.2014
Autor: Trikolon

Gibt es eine Idee wie die loesung bei Wolfram Alpha Zustandekommt?

Bezug
                                                
Bezug
Differentialgleichung lösen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Di 25.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                        
Bezug
Differentialgleichung lösen: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 24.11.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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