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Forum "Sonstige Transformationen" - Die Ebene und der R2
Die Ebene und der R2 < Sonstige < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Die Ebene und der R2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:48 Sa 30.10.2010
Autor: Theoretix

Aufgabe
Die Addition und Multiplikation zweier Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl kann man rein geometrisch definieren, ohne den Begriff eines Koordinatensystems!

(Man geht von folgenden Definitionen aus:
Ebene: genauer gesagt die Menge der Ortsvektoren der (zweidimensionalen) Ebene. Achtung: Das ist nicht dasselbe wie der [mm] \IR^2! [/mm]

[mm] \IR^2 [/mm] : Die Menge aller geordneten Paare (x,y) mit x,y [mm] \varepsilon \IR) [/mm]

Begründen Sie!

Hallo zusammen!

Wir behandeln grade als Thema "Die Ebene und der [mm] \IR^2" [/mm] also zu zeigen, dass das eben nicht dasselbe ist.
Jedoch kann ich mir das ganze noch nicht so richtig vorstellen und es werfen sich mir einige Fragen auf:

-Wie man addition und multiplikation eines Vektors ganz ohne den Begriff "Koordinatensystem" darstellen kann? Ich meine Vektoren kann man doch eben nur in einem Koordinatensystem (es muss natürlich kein orthonormiertes kartesisches sein) daretsellen-wenn der Begriff nicht existieren würde wie will man denn dann 2 Vektoren geometrisch addieren, ohne sie geometrisch darstellen zu können?

-Wie schon erwähnt verstehe ich auch noch nicht, wie man denn zwischen den Begriffen "Ebene" und dem [mm] "\IR^2" [/mm] differenzieren kann:
Der [mm] \IR^2 [/mm] ist ja laut Definition die Menge aller geordneten Paare (x,y)
also stelle ich ihn mir so vor: Ich habe eine x-/und eine Y Achse auf denen man jeweils reelle Zahlen abbilden kann und die Menge dieser geordneten Paare ist dementsprechend unendlich-->Ergibt eine unendliche Punktemenge= eine Ebene. (Oder?)
Jetzt gehe in in dieser Vorstellung ja schon von einem Koordinatensystem aus
(Aber wie sollte ich mit den [mm] \IR^2 [/mm] auch sonst vorstellen?)

-Dem gegenüber steht per Definition die "Ebene", die die Menge aller Ortsvektoren darstellt, die eine 2 dimensionale Ebene bilden...
Wieso ist denn das jetzt nicht das gleiche? Ich stelle mir das doch bildlich genauso vor wie den [mm] \IR^2? [/mm]

...Wäre nett, wenn mir jemand bei der Unterscheidung von Ebene und [mm] \IR^2 [/mm] weiterhelfen könnte, vllt erübrigen sich dann auch meine Fragen.

Ich danke schonmal jedem, der sich die Mühe macht!

Liebe Grüße


        
Bezug
Die Ebene und der R2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Sa 30.10.2010
Autor: leduart

Hallo
1.geh in die Wüste, zeichne einen Vektor in den Sand. der ist da jetz, du kannst einen doppelt oder halb so langen zeichnen, du hast nirgends ein Koordinatensystem, zeichne nen zweiten in den Sand, du kannst sie addieren, du kannst sie auch multiplizieren (skalar) und ne relative Länge rauskriegen.
d.h. der  bzw. die Vektoren existieren ohne den Begriff des Koordinatensystems.
mit hilfe deiner 2 Vektoren   in der Wüste und ihrn vielfacen und summen in  kannst du jeden Punkt der Wüstenebene erreichen,
Kannst du dir reelle zahen wirklich nur auf dem Zahlenstrahl vorstellen?
ich stell mir 12g Mehl oder 123g Mehl nicht auf dem Zahlenstrahl vor, die zahlen existieren für sich, ebenso Zahlenpaare (2,3) z. Bsp die zahlenpaare mit den Dimensionen Menge und Preis,  Breite und Höhe, Weg und Zeit und dann abstrahier ich auf einfach Zahenpaare, wie ich als Kind irgendwann von 3 fingern, 3 Äpfeln, 3 Bonbons auf die Zahl 3 abstrahiert habe und ab da nicht mehr finger abzhlen musst um 3+2 zu rechnen, und wenn ichs mit den Fingern gerechnet habe wusste, dass es auch für Äpfel gilt.
Um jemand einen Ort zu beschreiben, führ ich dann irgendein Koordinatensysten ein, x.y Ost, Nord und sage ihm dass Ort B 5km östlich und 2,3km nördlich von A liegt.
Gruss leduart



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Bezug
Die Ebene und der R2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:44 Sa 30.10.2010
Autor: Theoretix

Sehr schönes Beispiel mit der Wüste!=)
Vielen Dank für die Mühe!
Gruß

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Die Ebene und der R2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Sa 30.10.2010
Autor: Theoretix

Noch eine Frage zur Unterscheidung von Ebene und dem R2:

Was ist denn jetzt der Unterschied?
Beides existiert scheinbar ohne Koordinatensystem und der R2, also die Menge aller Punktepaare ist ja das Modell einer Ebene.

Die Ebene ist über die Ortsvektoren definiert...

Ich bringe den Unterschied noch nicht so ganz unter einen Hut!?

Gruß

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Bezug
Die Ebene und der R2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:44 Sa 30.10.2010
Autor: rainerS


> Noch eine Frage zur Unterscheidung von Ebene und dem R2:
>  
> Was ist denn jetzt der Unterschied?
>  Beides existiert scheinbar ohne Koordinatensystem und der
> R2, also die Menge aller Punktepaare ist ja das Modell
> einer Ebene.

Im [mm] $\IR^2$ [/mm] gibt es einen ganz besonders ausgezeichneten Punkt, in der Ebene nicht: welchen?

Viele Grüße
   Rainer

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Die Ebene und der R2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:16 Sa 30.10.2010
Autor: Theoretix

Den Punkt (0/0)?
Gruß

Bezug
                                
Bezug
Die Ebene und der R2: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:17 Sa 30.10.2010
Autor: leduart

Hallo
ja!
Gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Die Ebene und der R2: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:04 Sa 30.10.2010
Autor: Theoretix

Ist wirklich der einzige Unterschied zwischen R2 und einer Ebene, dass es in dem R2 einen definierten Punkt (0/0) gibt?=)

Gruß

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Bezug
Die Ebene und der R2: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:30 Sa 30.10.2010
Autor: Beltrami

Ich find die Diskusion interessant bin mir aber nicht sicher mit der Antwort.
Ist ess nicht so dass der [mm] R^2 [/mm] per Definition erstmal nur ne Menge ist also keinerlei Struktur hat (also Addition Multiplikation oder ein neutrales Element).

Ich bin mir fast sicher das [mm] (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+y_2,x_2+y_1) [/mm] auch eine sinnvolle Addition auf [mm] R^2 [/mm] definieren, was aber nicht der Addition auf der Ebene entsricht

Bezug
                                        
Bezug
Die Ebene und der R2: Wie ist Ebene definiert?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Sa 30.10.2010
Autor: moudi

Hallo zusammen

Die "euklidische Ebene" wird ueblicherweise mit [mm] $\mathbb R^2$ [/mm] identifiziert. Es dient als Modell fuer ein Axiomensystem, das man zugrunde legt. Wenn man jetzt die euklidische Ebene nicht als [mm] $\mathbb R^2$ [/mm] definiert, wie ist sie dann definiert? Anschauliche Definition (Punkte auf einem Blatt Papier) ist keine mathematische Definition.

Arbeite man nur mit einem Axiomesystem, dann muessen Punkte, Gerade, Ebene nicht definiert werden. Die Axiome sprechen nur wie diese Begriffe zusammenhaengen.

Als Beispiel zitiere ich einmal die Definition eines affinen Raumes (Marcel Berger, Geometry I, Springer 1987, p33).

"2.1.1 DEFINITION
An affine space over a field K is a faithful and transitive group action [mm] $(X,\vec X,\Phi)$, [/mm] where [mm] $\vec [/mm] X$ is a vector space over K considered with its additive group structure. The vector space [mm] $\vec [/mm] X$ is said to underline the affine space X."

mfG Moudi



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