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Dezimalbruchdarstellungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 So 08.04.2018
Autor: Mr.Hazl

Aufgabe
Charakterisieren Sie die Mengen [mm] \IN, \IZ [/mm] und [mm] \IQ [/mm] als Teilmengen der Menge [mm] \IR [/mm] durch Dezimalbruchdarstellungen.

Einen schönen guten Abend,

ich habe leider ein kleines Problem bei dieser Aufgabe. Es wäre schön wenn jemand drüber gucken könnte ob die Argumentation plausibel oder überhaupt brauchbar ist. Falls sie brauchbar ist, kann man den Sachverhalt vielleicht einfacher darstellen?

Mein Gedankengang lautet:
[mm] \IN\subset\IZ\subset\IQ\subset\IR [/mm]
Und Dezimalbruchdarstellungen müssten ja so aussehen:
[mm] z_{0},z_{1}z_{2}...z_{n}...:z_{0}\in\IZ;z_{n}\in\{0,1,...,9\}, n\in\IN\* [/mm]
So würde man ja auch [mm] \IR [/mm] darstellen.

Folgend würde ich sagen:
[mm] \IN\subset\IR=\{r|r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:r_{0}\ge0;r_{n}=0, n\in\IN\*\} [/mm]
[mm] \IZ\subset\IR=\{r|r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:r_{0}\ge0;r_{0}<0;r_{n}=0, n\in\IN\*\} [/mm]
[mm] \IQ\subset\IR=\{\bruch{a}{b}|a,b\in\IZ;b\not=0\} [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Mit freundlichen Grüßen

        
Bezug
Dezimalbruchdarstellungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:51 So 08.04.2018
Autor: chrisno


> ....
> Mein Gedankengang lautet:
>  [mm]\IN\subset\IZ\subset\IQ\subset\IR[/mm]
>  Und Dezimalbruchdarstellungen müssten ja so aussehen:
>  
> [mm]z_{0},z_{1}z_{2}...z_{n}...:z_{0}\in\IZ;z_{n}\in\{0,1,...,9\}, n\in\IN\*[/mm]

Korrekt ist das nicht. Du musst schon die [mm] $z_i$ [/mm] mit den Zehnerpotenzen verzieren.
Die Schreibweise [mm] $\IN\*$ [/mm] kenne ich nicht, da gibt es hier sicher andere, die mit ihr vertraut sind. Steht es für die natürlichen Zahlen mit der Null?
... (hier stand Quatsch)...
Hast Du das Summenzeichen [mm] $\sum$ [/mm] und erst recht [mm] $\sum_{i=1}^{\infty}$ [/mm] zur Verfügung?

>  
> So würde man ja auch [mm]\IR[/mm] darstellen.
>  
> Folgend würde ich sagen:
>  
> [mm]\IN\subset\IR=\{r|r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:r_{0}\ge0;r_{n}=0, n\in\IN\*\}[/mm]

Ein Teil der Anmerkungen wiederholt sich. Warum leitest Du mit r| ein? Schreib die Dezimalbruchdarstellung hin und danach: "für die gilt ..."

>  
> [mm]\IZ\subset\IR=\{r|r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:r_{0}\ge0;r_{0}<0;r_{n}=0, n\in\IN\*\}[/mm]

Das geht so gar nicht. Wenn die [mm] $r_i$ [/mm] alle größer oder gleich Null sein sollen, dann kann nicht eines kleiner als Null sein. Außerdem musst Du  ein "oder" einführen. Du kannst nicht einfach zwei sich widersprechende Bedingungen [mm] $r_{0}\ge0;r_{0}<0$ [/mm] hintereinander schreiben.

>

> [mm]\IQ\subset\IR=\{\bruch{a}{b}|a,b\in\IZ;b\not=0\}[/mm]

Da hast Du gar keine Dezimalbruchdarstellung mehr. Du musst zwei Fälle berücksichtigen:
- die Nachkommaziffern sind ab einen n alle Null
- es gibt eine Periode.

>  

Ich mache Feierabend, Du hast noch einiges vor Dir

Bezug
                
Bezug
Dezimalbruchdarstellungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:32 Mo 09.04.2018
Autor: Mr.Hazl

Erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich hätte da noch einige Fragen es wäre nett, wenn du mir da nochmal weiterhelfen könntest.

> > ....
> > Mein Gedankengang lautet:
>  >  [mm]\IN\subset\IZ\subset\IQ\subset\IR[/mm]
>  >  Und Dezimalbruchdarstellungen müssten ja so aussehen:
>  >  [mm]z_{0},z_{1}z_{2}...z_{n}...:z_{0}\in\IZ;z_{n}\in\{0,1,...,9\}, n\in\IN\*[/mm]

> Korrekt ist das nicht. Du musst schon die [mm]z_i[/mm] mit den
> Zehnerpotenzen verzieren.

Könntest du bitte nochmal genauer erläutern? Mein Verständnis von Zehnerpotenzen sieht ungefähr so aus:
[mm] \{...,10^{-2},10^{-1},10^{0},10^{1},10^{2},...\} [/mm]

>  Hast Du das Summenzeichen [mm]\sum[/mm] und erst recht
> [mm]\sum_{i=1}^{\infty}[/mm] zur Verfügung?

Sind in dem Buch aus dem die Aufgabe stammt bisher nicht aufgeführt, da ich aber nicht weiß von welcher Vorbildung dieses Buch ausgeht, kann ich dieses nicht explizit ausschließen.

> > So würde man ja auch [mm]\IR[/mm] darstellen.
> > Folgend würde ich sagen:
>  > [mm]\IN\subset\IR=\{r|r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:r_{0}\ge0;r_{n}=0, n\in\IN\*\}[/mm]

> Ein Teil der Anmerkungen wiederholt sich. Warum leitest Du
> mit r| ein? Schreib die Dezimalbruchdarstellung hin und
> danach: "für die gilt ..."

Also könnte man es folgendermaßen notieren?
[mm] \IN\subset\IR=\{r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:\mbox{für die gilt }r_{0}\ge0;r_{n}=0, n\in\IN\*\} [/mm]

>  > [mm]\IZ\subset\IR=\{r|r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:r_{0}\ge0;r_{0}<0;r_{n}=0, n\in\IN\*\}[/mm]

> Das geht so gar nicht. Wenn die [mm]r_i[/mm] alle größer oder
> gleich Null sein sollen, dann kann nicht eines kleiner als
> Null sein. Außerdem musst Du  ein "oder" einführen. Du
> kannst nicht einfach zwei sich widersprechende Bedingungen
> [mm]r_{0}\ge0;r_{0}<0[/mm] hintereinander schreiben.

Ich wähle nochmal die Form von oben, wären folgende Schreibweisen zulässig:
[mm] \IZ\subset\IR=\{r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:\mbox{für die gilt }r_{0}\ge0\mbox{ oder }r_{0}<0;r_{n}=0, n\in\IN\*\} [/mm]
oder
[mm] \IZ\subset\IR=\{r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:\mbox{für die gilt }r_{0}\ge0 \cup r_{0}<0;r_{n}=0, n\in\IN\*\} [/mm]
Kann man die Vereinigung in diesen Fall benutzen?

Auf den Rest würde ich morgen nochmal zurückkommen, vielen Dank.

Mit freundlichen Grüßen.


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Bezug
Dezimalbruchdarstellungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:52 Mo 09.04.2018
Autor: chrisno

Nun habe ich mal in Wikipedia geschaut, Stichwort "Dezimalystem".
Da finde ich Darstellungen, wie Du sie verwendet hast, also höre ich auf, an dieser Schreibweise herumzumeckern.

Jedoch finde ich Deinen Anfang dennoch nicht in Ordnung. Du verwendest [mm] $\IZ$ [/mm] schon in der Definition der Dezimalbruchdarstellung.
Da allerdings auch [mm] $\IN$ [/mm] in der Definition verwendet wird, sehe ich auch das nicht als Problem.
Also lasse ich es bei Deiner Darstellung.
[mm] $\IR$ [/mm] ist die Menge aller Zahlen, die sich mit:
$ [mm] z_{0},z_{1}z_{2}...z_{n}...$ [/mm] für die gilt [mm] $z_{0}\in\IZ$ [/mm] und [mm] $z_{i}\in\{0,1,...,9\}, i\in\IN\backslash \{0\} [/mm] $
darstellen lassen.

Nun zu den natürlichen Zahlen. Das sind alle Zahlen, die die Darstellung:
$ [mm] z_{0},z_{1}z_{2}...z_{n}...$ [/mm] für die gilt [mm] $z_{0}\in\\N$ [/mm] und [mm] $z_{i}=0,i\in\IN\backslash \{0\} [/mm] $
haben.

Für die ganzen Zahlen brauchst Du keinen Klimmzug zu machen. Kombiniere nur die beiden Definitionen passend.

Ich zitiere noch Deine letzte Frage:

> Ich wähle nochmal die Form von oben, wären folgende Schreibweisen zulässig:
> $ [mm] \IZ\subset\IR=\{r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:\mbox{für die gilt }r_{0}\ge0\mbox{ oder }r_{0}<0;r_{n}=0, n\in\IN*\} [/mm] $

Hier fehlt die Angabe, aus welcher Menge [mm] $r_0$ [/mm] kommt. Ich nehme an, dass [mm] $\IN\*$ [/mm] die natürlichen Zahlen ohne die Null bezeichnet.
Der Anfang ist auch nicht in Ordnung, lass das [mm] $\subset\IR$ [/mm] weg. So steht da [mm] $\IR [/mm] = ...$ und das willst Du ja gerade nicht.


> oder$ [mm] \IZ\subset\IR=\{r_{0},r_{1}r_{2}...r_{n}...:\mbox{für die gilt }r_{0}\ge0 \cup r_{0}<0;r_{n}=0, n\in\IN*\} [/mm] $
> Kann man die Vereinigung in diesen Fall benutzen?

Nein, Du kannst nur Mengen vereinigen. Du könntest also zwei Mengen hinschreiben, die eine mit [mm] $r_{0}\ge0$ [/mm] und die andere mit [mm] $r_{0}<0$ [/mm] und die beiden vereinigen.

[mm] r_{0}<0r_{0}<0 [/mm]

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Dezimalbruchdarstellungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 So 15.04.2018
Autor: Mr.Hazl

Also könnte man nach dieser Schreibweise sagen:

[mm]z_{0},z_{1}z_{2}...z_{n}...[/mm] für die gilt [mm]z_{0}\in\\Z[/mm] und
[mm]z_{i}=0,i\in\IN\backslash \{0\}[/mm] haben.

Ich habe folgende Darstellung gefunden:

[mm] z_{m}z_{m-1}...z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n} [/mm] für die gilt [mm] (m,n\in\IN) [/mm] und [mm] z_{i}\in\{0,...,9\} [/mm]

Ist diese Notation gebräuchlicher? Konnte man danach zum Beispiel [mm] \IN [/mm] so definieren?

[mm] z_{m}z_{m-1}...z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n} [/mm] für die gilt [mm] (m,n\in\IN) [/mm] und [mm] z_{i\ge0}\in\{0,...,9\} [/mm] und [mm] z_{i<0}=0 [/mm]

Ich hätte auch noch eine Frage zu den rationalen Zahlen, diese sind ja durch einen abbrechenden oder nicht abbrechenden Dezimalbruch. Konnte man die mit abbrechenden Dezimalbruch folgendermaßen darstellen?

[mm] z_{m}z_{m-1}...z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n} [/mm] = [mm] \bruch{(z_{m}z_{m-1}...z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}*10^n)}{10^n} [/mm] und [mm] -\bruch{(z_{m}z_{m-1}...z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}*10^n)}{10^n} [/mm] für die gilt [mm] (m,n\in\IN) [/mm] und [mm] z_{i}\in\{0,...,9\} [/mm]




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Dezimalbruchdarstellungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:49 Mo 16.04.2018
Autor: chrisno


> Also könnte man nach dieser Schreibweise sagen:
>  
> [mm]z_{0},z_{1}z_{2}...z_{n}...[/mm] für die gilt [mm]z_{0}\in\\Z[/mm] und
> [mm]z_{i}=0,i\in\IN\backslash \{0\}[/mm] haben.

Ich würde noch das [mm] $z_n$ [/mm] wegnehmen. Die Punkte sagen, dass es weiter geht.
Ich bin völlig leidenschaftslos, was die Diskussion angeht, ob die Null zu den natürlichen Zahlen gehört oder nicht. Ich habe gelernt, dass die Null nicht dazu gehört und deshalb angegeben werden muss, wenn man sie dazunimmt. Im Zweifel muss man eben am Anfang erklären, zu welcher Fraktion man gehört

>  
> Ich habe folgende Darstellung gefunden:
>  
> [mm]z_{m}z_{m-1}...z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}[/mm] für die gilt
> [mm](m,n\in\IN)[/mm] und [mm]z_{i}\in\{0,...,9\}[/mm]
>  
> Ist diese Notation gebräuchlicher? Konnte man danach zum
> Beispiel [mm]\IN[/mm] so definieren?
>  
> [mm]z_{m}z_{m-1}...z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}[/mm] für die gilt
> [mm](m,n\in\IN)[/mm] und [mm]z_{i\ge0}\in\{0,...,9\}[/mm] und [mm]z_{i<0}=0[/mm]

Was gebräuchlicher ist, kann ich nicht sagen. Doch geht es in der Dezimalbruchdarstellung darum, die Zahl durch eine Folge von Ziffern dazustellen. Da finde ich es nicht passend, vor dem Komma einfach eine Zahl hinzuschreiben, wie Du es in dem Fallt [mm]z_{0}\in\\Z[/mm] machst. Auch vor dem Komma sollte dann eine Folge von Ziffern stehen, also so wie es in Wikipedia dargestellt ist.

>  
> Ich hätte auch noch eine Frage zu den rationalen Zahlen,
> diese sind ja durch einen abbrechenden oder nicht
> abbrechenden Dezimalbruch. Konnte man die mit abbrechenden
> Dezimalbruch folgendermaßen darstellen?
>  
> [mm]z_{m}z_{m-1}...z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}[/mm] =
> [mm]\bruch{(z_{m}z_{m-1}...z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}*10^n)}{10^n}[/mm]
> und
> [mm]-\bruch{(z_{m}z_{m-1}...z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}*10^n)}{10^n}[/mm]
> für die gilt [mm](m,n\in\IN)[/mm] und [mm]z_{i}\in\{0,...,9\}[/mm]

Da ist mir unklar, was Du erreichen willst. Es geht doch viel einfacher. Du hast schon die Darstellung von [mm] $\IZ$. [/mm] Nun soll es auch noch n Stellen nach dem Komma geben, die nicht Null sind, alle anderen danach schon. Nun kommt das [mm] $z_n$, [/mm] dass ich oben überflüssig finde, ins Spiel.

>  
>
>  


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Bezug
Dezimalbruchdarstellungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:18 Di 17.04.2018
Autor: Mr.Hazl

Könnte man das bei den abbrechenden rationalen Zahlen so stehen lassen?

[mm]z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}[/mm] =
[mm]\bruch{(z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}*10^n)}{10^n}[/mm] für die gilt [mm] (n\in\IN) [/mm] und [mm] z_{0}\in\IZ [/mm] und [mm] z_{i}\in\{0,...,9\} [/mm]

Bei den periodischen rationalen Zahlen stellt sich mir nun folgendes Problem. Man kann ja Periode darstellen in dem man die Ziffernfolge durch eine Neunerfolge in Periodenlänge teilt. Wenn die Periode nicht direkt nach dem Komma beginnt, muss ich ja die Ziffernfolge vor dem Komma von der Periode trennen. Da stellt sich mir die Frage wie kann ich eine gültige Formulierung treffen ab wann die Periode beginnt?

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Bezug
Dezimalbruchdarstellungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:19 Di 17.04.2018
Autor: chrisno


> Könnte man das bei den abbrechenden rationalen Zahlen so
> stehen lassen?

Es geht um rationale Zahlen, deren Dezimalbruchdarstellung abbricht.

>  
> [mm]z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}[/mm] =

Das [mm]z_{0}\in\IZ[/mm] ist nun hinreichend oft kritisiert worden.


> [mm]\bruch{(z_{0},z_{-1}z_{-2}...z_{-n}*10^n)}{10^n}[/mm] für die
> gilt [mm](n\in\IN)[/mm] und [mm]z_{0}\in\IZ[/mm] und [mm]z_{i}\in\{0,...,9\}[/mm]

Ich bitte Dich um eine Erklärung, was Du mit dieser Schreibweise erreichen möchtest.

Setze doch einfach um: bis zu einem n können alle Ziffern hinter dem Komma vorkommen, danach nur noch die Null.

>  
> Bei den periodischen rationalen Zahlen stellt sich mir nun
> folgendes Problem. Man kann ja Periode darstellen in dem
> man die Ziffernfolge durch eine Neunerfolge in
> Periodenlänge teilt.

Gib mal ein Beispiel.

> Wenn die Periode nicht direkt nach
> dem Komma beginnt, muss ich ja die Ziffernfolge vor dem
> Komma von der Periode trennen. Da stellt sich mir die Frage
> wie kann ich eine gültige Formulierung treffen ab wann die
> Periode beginnt?

Die Ziffernfolge vor dem Komma?
Nachdem Du die Darstellung für die Zahlen hast, bei denen die Dezimalbruchdarstellung abbricht, musst Du dann den Teil in dem steht: "ab hier nur noch Nullen" ersetzen durch "ab hier eine Ziffernfolge der Länge p, immer wieder".


Bezug
                                                        
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Dezimalbruchdarstellungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:12 Mi 18.04.2018
Autor: HJKweseleit

Schau dir meine Mitteilung an, da steht alles drin.
Falls dir meine Zifferndarstellung dort nicht gefällt, hier noch mal mit Zehnerpotenzen:



Sei M = [mm] \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} [/mm] und  [mm](z_n)_{n=-k}^{\infty}[/mm] mit [mm] k\ge [/mm] 0 eine Folge mit [mm] z_i [/mm] aus M für alle i, wobei [mm] z_{-k}\ne [/mm] 0 sein soll, falls k>0 ist.
(Erklärung: Es stehen k+1 Ziffern vor dem Komma. Die erste sollte (dürfte aber grundsätzlich auch) nicht 0 sein. Falls aber k=0 ist, steht nur eine Ziffer vor dem Komma, und die darf auch 0 sein.)

Sei weiter V [mm] \in [/mm] {1,-1} . (Erklärung: Der Faktor V macht die Zahl positiv oder negativ)

Dann gilt für die Darstellung der Zahlen aus den angegebenen Mengen:

z= V * [mm] \summe_{i=-k}^{\infty} z_i*10^{-i} [/mm]


1. z [mm]\in \IN \gdw [/mm] V = 1 und [mm]z_1=z_2[/mm] = [mm]z_3[/mm] = .....= 0  (Zahlen positiv, Nachkommastellen alle =0. Soll die 0 nicht zu [mm] \IN [/mm] gehören, muss man noch verlangen: mindestens ein [mm] z_i \ne [/mm] 0)

2. z [mm]\in \IZ \gdw z_1=z_2[/mm] = [mm]z_3[/mm] = .....= 0 (wie bei [mm] \IN, [/mm] aber auch negative Zahlen und 0 erlaubt.)



Die rationalen Zahlen lassen sich als periodische Dezimalzahlen darstellen!!! Sollten nur noch Nullen folgen, sehen wir dies auch als Periode der Länge 1 an.

3. z [mm]\in \IQ \gdw [/mm]  es existieren ein r und ein s [mm]\in \IN[/mm] mit [mm] z_{i+s}=z_i [/mm] für alle i>r.

Beispiele:
Für z=45,32: [mm] k=-1,z_{-1}=4, z_0=5, z_1=3, z_2=2, z_3=0, [/mm]   r=2 und s=1.   [mm] (z_4=z_{3+1}=z_3=0, z_5=z_{4+1}=z_4=0,...) [/mm]
Für z=0,24123123123123123... wäre [mm] z_1=2, z_2=4, z_3=1,z_4=2, z_5=3, [/mm]  r=2 und s=3.  [mm] (z_6=z_{3+3}=z_3=1, z_7=z_{4+3}=z_4 [/mm] = 2 usw.)


Für [mm] \IR [/mm] gilt ganz einfach: z beliebig nach obiger Definition.


Bezug
        
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Dezimalbruchdarstellungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 So 08.04.2018
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Mr.Hazl

ich würde da gerne empfehlen, das Ganze zuerst in Worten zu beschreiben
und erst nachher eine Formalisierung mit Variablen für alle Dezimalstellen
einzuführen.

Beispiel:  Die Dezimaldarstellung einer ganzen Zahl besteht aus einem
allfälligen Minuszeichen am Anfang mit einer anschließenden endlichen
Folge von Dezimalziffern aus {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} , die aber nicht mit
einer Ziffer 0 beginnen soll.
(ein Dezimalpunkt ist dabei nicht erforderlich, man könnte aber allenfalls
einen solchen an den Schluss hinter die Ziffernfolge setzen)

LG ,   Al-Chw.

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Dezimalbruchdarstellungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:39 Mo 16.04.2018
Autor: fred97

Sei z [mm] \in \IR. [/mm] Dann ist die folgende Schreibweise für die Dezimalbruchdarstellung von z durchaus üblich (auch wenn chrisno das anders sieht): es gibt ein [mm] z_0 \in \IZ [/mm] und eine Folge [mm] (z_n)_{n=1}^{\infty} [/mm] in [mm] \{0,1,...,9\} [/mm] mit:

   [mm] z=z_0,z_1z_2z_3 [/mm] ......

Damit haben wir:

1. z [mm] \in \IN \gdw z_0 \in \IN [/mm] und [mm] z_1=z_2 [/mm] = [mm] z_3 [/mm] = .....= 0

2. z [mm] \in \IZ \gdw z_0 \in \IZ [/mm] und [mm] z_1=z_2 [/mm] = [mm] z_3 [/mm] = .....= 0

3. z [mm] \in \IQ \gdw z_0 \in \IZ [/mm] und es existiert ein j [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] z_j \ne [/mm] 0.

Bemerkungen:

(1) bei mir ist [mm] \IN=\{1,2,3,...\}. [/mm]

(2) Die Schreibweise [mm] z=z_0,z_1z_2z_3 [/mm] ...... ist eine Abkürzung von

[mm] z=z_0+ \summe_{j=1}^{\infty}\frac{z_j}{10^j}. [/mm]

Bezug
                
Bezug
Dezimalbruchdarstellungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:18 Mo 16.04.2018
Autor: HJKweseleit


> Sei z [mm]\in \IR.[/mm] Dann ist die folgende Schreibweise für die
> Dezimalbruchdarstellung von z durchaus üblich (auch wenn
> chrisno das anders sieht): es gibt ein [mm]z_0 \in \IZ[/mm] und eine
> Folge [mm](z_n)_{n=1}^{\infty}[/mm] in [mm]\{0,1,...,9\}[/mm] mit:
>  
> [mm]z=z_0,z_1z_2z_3[/mm] ......
>  
> Damit haben wir:
>  
> 1. z [mm]\in \IN \gdw z_0 \in \IN[/mm] und [mm]z_1=z_2[/mm] = [mm]z_3[/mm] = .....= 0

[notok]

>  
> 2. z [mm]\in \IZ \gdw z_0 \in \IZ[/mm] und [mm]z_1=z_2[/mm] = [mm]z_3[/mm] = .....= 0

[notok]


Du kannst [mm] \IN [/mm] nicht mit [mm] \IN [/mm] und [mm] \IZ [/mm] nicht mit [mm] \IZ [/mm] erklären, da diese Menge bisher noch gar nicht definiert sind.
Bis hierher gibt es nur die Ziffern 0 bis 9.

Für die Nummerierungen braucht man natürlich schon die Menge [mm] \IN, [/mm] sie muss also "intuitiv" bekannt sein.

Sei M = [mm] \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\} [/mm] und  [mm](z_n)_{n=-k}^{\infty}[/mm] mit [mm] k\ge [/mm] 0 eine Folge mit [mm] z_i [/mm] aus M für alle i, wobei [mm] z_{-k}\ne [/mm] 0 sein soll, falls k>0 ist.

(Beispiel für k=3: z=1234,998, wobei [mm] k_{-3}=1 [/mm] ist und [mm] z_0=4. [/mm] )

Sei weiter V = {+,-} (wobei + auch durch eine Leerstelle ersetzt werden kann).

Dann gilt für die Zifferndarstellung der Zahlen aus den angegebenen Mengen:

[mm] z=Vz_{-k}z_{1-k}z_{2-k}...z_0,z_1z_2z_3... [/mm]


1. z [mm]\in \IN \gdw [/mm] V = + und [mm]z_1=z_2[/mm] = [mm]z_3[/mm] = .....= 0

2. z [mm]\in \IZ \gdw z_1=z_2[/mm] = [mm]z_3[/mm] = .....= 0



>  
> 3. z [mm]\in \IQ \gdw z_0 \in \IZ[/mm] und es existiert ein j [mm]\in \IN[/mm]
> mit [mm]z_j \ne[/mm] 0.

[notok]



Damit schließt du die ganzen Zahlen aus [mm] \IQ [/mm] aus, lässt andererseits aber alle irrationalen Zahlen zu.

Die rationalen Zahlen lassen sich als abbrechende oder periodische Dezimalzahlen darstellen!!!

3. z [mm]\in \IQ \gdw [/mm]  es existieren ein r und ein s [mm]\in \IN[/mm] mit [mm] z_{i+s}=z_i [/mm] für alle i>r.

Daran ist schon eingeschlossen, dass nur noch Nullen folgen, denn das kann auch als Periode angesehen werden.


Für [mm] \IR [/mm] gilt ganz einfach: z beliebig nach obiger Definition.


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