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Forum "Determinanten" - Determinantenrechnung
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Determinantenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Sa 14.05.2016
Autor: Rebellismus

Aufgabe
a) Für welche [mm] a,b\in\IR [/mm] ist A invertiertbar

[mm] A=\pmat{ a & 2 & a\\ 3 & 2& b\\ 3 & 2 & 4 } [/mm]

b)

Berechnen Sie das Volumen des durch

u=(2,-3,1)

v=(-1,0,4)

w=(1,2,3)

am Punkt A=(0,0,0) aufgespannten Parallelopipdes sowie den Inhalt der von u,v aufgespannten Seitenfläche. Ist (u,v,w) ein Rechtssystem?



b)

[mm] V=|det(u,v,w)|=\left|det\pmat{ 2 & -1 & 1\\ -3 & 0&2\\ 1 &4 & 3 }\right|=|-39|=39 [/mm]

Inhalt der von u,v aufgespannten Seitenfläche ist:

[mm] A=|u\times{v}|=\left|\vektor{2 \\ -3\\ 1}\times\vektor{-1 \\ 0\\ 4}\right|=\left|\vektor{-12 \\-9\\ -3}\right|=3\wurzel{26} [/mm]

(u,v,w) ist kein Rechtssystem, sondern ein Linkssystem, weil  det(u,v,w)<0 ist

Stimmt die Lösung?

        
Bezug
Determinantenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:01 Sa 14.05.2016
Autor: fred97


> a) Für welche [mm]a,b\in\IR[/mm] ist A invertiertbar
>  
> [mm]A=\pmat{ a & 2 & a\\ 3 & 2& b\\ 3 & 2 & 4 }[/mm]
>  
> b)
>  
> Berechnen Sie das Volumen des durch
>  
> u=(2,-3,1)
>  
> v=(-1,0,4)
>  
> w=(1,2,3)
>  
> am Punkt A=(0,0,0) aufgespannten Parallelopipdes sowie den
> Inhalt der von u,v aufgespannten Seitenfläche. Ist (u,v,w)
> ein Rechtssystem?
>  
>
> b)
>  
> [mm]V=|det(u,v,w)|=\left|det\pmat{ 2 & -1 & 1\\ -3 & 0&2\\ 1 &4 & 3 }\right|=|-39|=39[/mm]
>  
> Inhalt der von u,v aufgespannten Seitenfläche ist:
>  
> [mm]A=|u\times{v}|=\left|\vektor{2 \\ -3\\ 1}\times\vektor{-1 \\ 0\\ 4}\right|=\left|\vektor{-12 \\-9\\ -3}\right|=3\wurzel{26}[/mm]
>  
> (u,v,w) ist kein Rechtssystem, sondern ein Linkssystem,
> weil  det(u,v,w)<0 ist
>  
> Stimmt die Lösung?

Ja

FRED


Bezug
                
Bezug
Determinantenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:38 Sa 14.05.2016
Autor: Rebellismus

Für [mm] u,v,w\in\IR^3 [/mm] beschreibt die Gleichung V=|det(u,v,w)| den Volumen eines parallelepipeds

Für [mm] u,v\in\IR^2 [/mm] beschreibt die Gleichung A=|det(u,v)| den Flächeninhalt eines Parallelogramms

Das steht so in meinem Script, aber es wird nicht erklärt wieso. Ich will das nicht einfach so hinnehmen. Kann mir einer erklären wieso diese Gleichung den Volumen eines parallelepipeds und Flächeninhalt eines Parallelogramms beschreiben?

Außer es ist zu kompliziert, dann werde ich es einfach so hinnehmen.

Bezug
                        
Bezug
Determinantenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Sa 14.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Für [mm]u,v,w\in\IR^3[/mm] beschreibt die Gleichung V=|det(u,v,w)|
> den Volumen eines parallelepipeds

>

> Für [mm]u,v\in\IR^2[/mm] beschreibt die Gleichung A=|det(u,v)| den
> Flächeninhalt eines Parallelogramms

>

> Das steht so in meinem Script, aber es wird nicht erklärt
> wieso. Ich will das nicht einfach so hinnehmen. Kann mir
> einer erklären wieso diese Gleichung den Volumen eines
> parallelepipeds und Flächeninhalt eines Parallelogramms
> beschreiben?

>

> Außer es ist zu kompliziert, dann werde ich es einfach so
> hinnehmen.

Dann schau mal unter folgenden Links:
-[]Dieter Heidorn
-[]Bianca Högel

Dort hast du die Herleitungen zu dem Thema meiner Meinung nach schön zusammengefasst.

Marius

Bezug
                                
Bezug
Determinantenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:15 Sa 14.05.2016
Autor: Rebellismus

Wie kann man die folgende gleichung in Worte fassen?

[mm] \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix} [/mm] = [mm] \det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}. [/mm]

Ich hätte die gleichung so beschrieben: Man kann die Spalten einer Matrix transponieren ohne ihre Determinante zuändern.

Kann man das so sagen?

Ich habe noch eine Frage. Wenn man die Zeilen oder Spalten vertaucht, dann verändert sich das Vorzeichen der Determinante, richtig?

[mm] \det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix} b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_ 2 \\ b_3 &a_3 & c_3\end{pmatrix} [/mm]

[mm] \det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} [/mm]

ist das so richtig?


Bezug
                                        
Bezug
Determinantenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:31 So 15.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Wie kann man die folgende gleichung in Worte fassen?

>

> [mm]\det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}.[/mm]

>

> Ich hätte die gleichung so beschrieben: Man kann die
> Spalten einer Matrix transponieren ohne ihre Determinante
> zuändern.

>

> Kann man das so sagen?


Die Spalten einer matrix kannst du nicht transponieren, nur die Matrix selber. Dieses Transponieren einer Matrix ändert dann die Derterminante aber nicht.


>

> Ich habe noch eine Frage. Wenn man die Zeilen oder Spalten
> vertaucht, dann verändert sich das Vorzeichen der
> Determinante, richtig?

>

> [mm]\det\begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_ 2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix} b_1 & a_1 & c_1 \\ b_2 & a_2 & c_ 2 \\ b_3 &a_3 & c_3\end{pmatrix}[/mm]

>

> [mm]\det\begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}=-\det\begin{pmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \\ a_1 & a_2 & a_ 3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}[/mm]

>

> ist das so richtig?

Das stimmt.

Marius

Bezug
        
Bezug
Determinantenrechnung: aufg. a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Sa 14.05.2016
Autor: Rebellismus

a)

Die Matrix A ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist

[mm] det(A)=det\pmat{ a & 2 & a\\ 3 & 2& b\\ 3 & 2 & 4 }=8a+6b-2ab-24 [/mm]

Ich muss jetzt quasi die Gleichung:

8a+6b-2ab-24=0

lösen. Für alle Lösungen [mm] a,b\in\IR [/mm] ist die Matrix A nicht invertierbar. Alle anderen [mm] a,b\in\IR [/mm] ist A invertierbar.

Aber wie Löse ich diese gleichung ? Ich habe zwei unbekannte und eine Gleichung. So ist das nicht lösbar

Bezug
                
Bezug
Determinantenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:48 So 15.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo


Versuche aus der Gleichung einen Zusammenhang zwischen a und b herzustellen, das reicht dann hier als Lösung.

Evtl würde ich hier auch mal über b=4 nachdenken, denn dann dann sind zwei Zeilen der Marrix ja gleich.

Marius

Bezug
                        
Bezug
Determinantenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:51 So 15.05.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

> Versuche aus der Gleichung einen Zusammenhang zwischen a
> und b herzustellen, das reicht dann hier als Lösung.

[mm]8a+6b-2ab-24=0[/mm]

[mm]4a+3b-ab-12=0[/mm]

[mm]b(3-a)=12-4a[/mm]

[mm] b=\bruch{12-4a}{(3-a)} [/mm]

Für alle [mm] a,b\in\IR [/mm] die die letzte Gleichung erfüllen, ist die Matrix nicht invertierbar, weil die Determinante gleich Null ist. Für alle anderen [mm] a,b\in\IR [/mm] ist die Matrix invertierbar.

Stimmt die Lösung?

> Evtl würde ich hier auch mal über b=4 nachdenken, denn dann dann sind zwei Zeilen der Marrix ja gleich.

Für b=4 wären die zwei Zeilen dann linear abhängig und dann wäre die matrix nicht invertierbar. Aber wie kann man sich sicher sein, dass b=4 die einzige Lösung ist? Für [mm] b\not=4 [/mm] wäre die zweite zeile nicht mehr linear abhängig mit der dritten Zeile, aber sie könnte ja noch linear abhängig mit der ertsen Zeile sein.

Das heißt mit dem Ansatz b=4 kann man eine Lösung finden, aber nicht alle. Ist das richtig?


Bezug
                                
Bezug
Determinantenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:00 So 15.05.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> > Versuche aus der Gleichung einen Zusammenhang zwischen a
> > und b herzustellen, das reicht dann hier als Lösung.
>  
> [mm]8a+6b-2ab-24=0[/mm]
>  
> [mm]4a+3b-ab-12=0[/mm]
>  
> [mm]b(3-a)=12-4a[/mm]
>  
> [mm]b=\bruch{12-4a}{(3-a)}[/mm]

Teilen durch 3-a ist nur erlaubt, wenn a [mm] \ne [/mm] 3 ist.

Weiter ist 12-4a=4(3-a).

Für a [mm] \ne [/mm] 3 ist also b=4.

Für a=3 kann b sein was es will.

FRED


>  
> Für alle [mm]a,b\in\IR[/mm] die die letzte Gleichung erfüllen, ist
> die Matrix nicht invertierbar, weil die Determinante gleich
> Null ist. Für alle anderen [mm]a,b\in\IR[/mm] ist die Matrix
> invertierbar.
>  
> Stimmt die Lösung?
>  
> > Evtl würde ich hier auch mal über b=4 nachdenken, denn
> dann dann sind zwei Zeilen der Marrix ja gleich.
>  
> Für b=4 wären die zwei Zeilen dann linear abhängig und
> dann wäre die matrix nicht invertierbar. Aber wie kann man
> sich sicher sein, dass b=4 die einzige Lösung ist? Für
> [mm]b\not=4[/mm] wäre die zweite zeile nicht mehr linear abhängig
> mit der dritten Zeile, aber sie könnte ja noch linear
> abhängig mit der ertsen Zeile sein.
>  
> Das heißt mit dem Ansatz b=4 kann man eine Lösung finden,
> aber nicht alle. Ist das richtig?
>  


Bezug
                                        
Bezug
Determinantenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 So 15.05.2016
Autor: Rebellismus

Hallo,

Ich will mir zu der Aufgabe noch eine Notiz machen, damit ich auch nach paar Wochen weiß was invertierbare Matrizen sind und wozu man sie braucht. Ist die folgende Notiz richtig? Habt ihr verbesserungsvorschläge:

Die Division gibt es bei Matrizen nicht. Quadtratische Matrizen, die invertierbar sind, haben jedoch eine vergleichbare Eigenschaft. Eine quadtratische Matrix [mm] A\in\IR^{n\times{n}} [/mm] heißt invertierbar, falls eine Matrix [mm] B\in\IR^{n\times{n}} [/mm] existiert, so dass gilt:

[mm]A*B=E=B*A[/mm]

Hierbei ist [mm]E[/mm] die Einheitsmatrix. In diesem Fall ist [mm]B[/mm] eindeutig und die Inverse wird mit [mm] A^{-1} [/mm] bezeichnet. Diese Eigenschaft wird benutzt, um Matrizen zu elemenieren. Als Beispiel wird das folgende Gleichungssystem betrachtet, das nach [mm]x[/mm] umgestellt werden soll:

[mm]A*x=b[/mm]   mit [mm] A\in\IR^{n\times{n}} [/mm] und [mm] x,b\in\IR^n [/mm]

Die Gleichung kann nicht mit A dividiert, aber mit ihrer Inverse multipliziert werden.

[mm] A*A^{-1}x=A^{-1}*b [/mm]

[mm] E*x=A^{-1}*b [/mm]

[mm] x=A^{-1}*b [/mm]



Bezug
                                                
Bezug
Determinantenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:36 So 15.05.2016
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> Ich will mir zu der Aufgabe noch eine Notiz machen, damit
> ich auch nach paar Wochen weiß was invertierbare Matrizen
> sind und wozu man sie braucht. Ist die folgende Notiz
> richtig? Habt ihr verbesserungsvorschläge:
>  
> Die Division gibt es bei Matrizen nicht. Quadtratische
> Matrizen, die invertierbar sind, haben jedoch eine
> vergleichbare Eigenschaft. Eine quadtratische Matrix
> [mm]A\in\IR^{n\times{n}}[/mm] heißt invertierbar, falls eine Matrix
> [mm]B\in\IR^{n\times{n}}[/mm] existiert, so dass gilt:
>  
> [mm]A*B=E=B*A[/mm]
>  
> Hierbei ist [mm]E[/mm] die Einheitsmatrix. In diesem Fall ist [mm]B[/mm]
> eindeutig und die Inverse wird mit [mm]A^{-1}[/mm] bezeichnet. Diese
> Eigenschaft wird benutzt, um Matrizen zu elemenieren. Als
> Beispiel wird das folgende Gleichungssystem betrachtet, das
> nach [mm]x[/mm] umgestellt werden soll:
>  
> [mm]A*x=b[/mm]   mit [mm]A\in\IR^{n\times{n}}[/mm] und [mm]x,b\in\IR^n[/mm]
>  
> Die Gleichung kann nicht mit A dividiert, aber mit ihrer
> Inverse multipliziert werden.

......  wenn die Inverse existiert. ...


>  
> [mm]A*A^{-1}x=A^{-1}*b[/mm]
>  
> [mm]E*x=A^{-1}*b[/mm]
>  
> [mm]x=A^{-1}*b[/mm]
>  
>  


Ist o.k.

fred

Bezug
                                        
Bezug
Determinantenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:02 So 15.05.2016
Autor: Rebellismus


>  >  
> > [mm]8a+6b-2ab-24=0[/mm]
>  >  
> > [mm]4a+3b-ab-12=0[/mm]
>  >  
> > [mm]b(3-a)=12-4a[/mm]
>  >  
> > [mm]b=\bruch{12-4a}{(3-a)}[/mm]
>  
> Teilen durch 3-a ist nur erlaubt, wenn a [mm]\ne[/mm] 3 ist.
>  
> Weiter ist 12-4a=4(3-a).
>  
> Für a [mm]\ne[/mm] 3 ist also b=4.
>  
> Für a=3 kann b sein was es will.
>  

Aber a darf nicht gleich 3 sein, sonst würde man durch null teilen.

Ich hätte jetzt einfach gesagt: Für a [mm]\ne[/mm] 3 und b=4 ist [mm] A_1 [/mm] nicht invertierbar.  
b ändert seinen Wert nur dann, wenn a=3 ist. Aber da a=3 nicht definiert ist, ist die Matrix [mm] A_1 [/mm] für keinen [mm] a,b,\in\IR [/mm] invertierbar.

ist das richtig?



Bezug
                                                
Bezug
Determinantenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:08 So 15.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo

Sortiere die durchaus richtigen Ideen etwas.
Ohne Fallutnerscheidung kommst du aus, wenn du etwas anders umformst.

$ b(3-a)=12-4a $
[mm] $\Leftrightarrow b\cdot(3-a)=4(3-a)$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow b\cdot(3-a)-4(3-a)=0$ [/mm]
[mm] $\Leftrightarrow (b-4)\cdot(3-a)=0$ [/mm]

Jetzt überlege nochmal, wann dieses passiert.

Marius

Bezug
                                                        
Bezug
Determinantenrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 So 15.05.2016
Autor: Rebellismus


> [mm] (b-4)\cdot(3-a)=0[/mm]
>  
> Jetzt überlege nochmal, wann dieses passiert.
>  

Wenn a=3 oder b=4 ist, dann ist [mm] A_1 [/mm] nicht invertierbar. Wenn [mm] a\not=3 [/mm] und [mm] b\not=4 [/mm] ist, dann ist [mm] A_1 [/mm] invertierbar.

ist die Lösung jetzt richtig?


ich kann den folgenden Übergang nicht nachvollziehen:

$ [mm] b\cdot(3-a)-4(3-a)=0 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow (b-4)\cdot(3-a)=0 [/mm] $

Wie kommt man von der ersten gleichung auf die zweite?

Bezug
                                                                
Bezug
Determinantenrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:37 Mo 16.05.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> > [mm](b-4)\cdot(3-a)=0[/mm]
> >
> > Jetzt überlege nochmal, wann dieses passiert.
> >

>

> Wenn a=3 oder b=4 ist, dann ist [mm]A_1[/mm] nicht invertierbar.

So ist es

> Wenn [mm]a\not=3[/mm] und [mm]b\not=4[/mm] ist, dann ist [mm]A_1[/mm] invertierbar.

>

> ist die Lösung jetzt richtig?

Ja

>
>

> ich kann den folgenden Übergang nicht nachvollziehen:

>

> [mm]b\cdot(3-a)-4(3-a)=0[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow (b-4)\cdot(3-a)=0[/mm]

>

> Wie kommt man von der ersten gleichung auf die zweite?

Durch Ausklammern der Klammer.

Marius

Bezug
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