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DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Do 24.07.2014
Autor: petapahn

Aufgabe
Löse die DGL
1. [mm] x'(t)=t^2*sin(x-1), [/mm] x(2)=1
2. [mm] x'(t)=\bruch{x}{t}-\sqrt{1-\bruch{x}{t}}, [/mm] x(1)=1/2


Guten Abend,
kann mir jemand helfen bei den DGL. Ich bräuchte einfach einen Ansatz (also zB Trennung der Variablen etc) zu beiden DGL und bitte nicht einfach ein ausprobierte Lösung.
Bei 1. seh ich schon mal dass die konstante Fkt x(t)=1 eine Lösung ist. Bei 2. hab ichs über Substitution probiert, komme aber nicht hin.
Vielen Dank schon mal
LG,
petapahn


        
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:56 Do 24.07.2014
Autor: abakus


> Löse die DGL
> 1. [mm]x'(t)=t^2*sin(x-1),[/mm] x(2)=1
> 2. [mm]x'(t)=\bruch{x}{t}-\sqrt{1-\bruch{x}{t}},[/mm] x(1)=1/2

>

> Guten Abend,
> kann mir jemand helfen bei den DGL. Ich bräuchte einfach
> einen Ansatz (also zB Trennung der Variablen etc) zu beiden
> DGL und bitte nicht einfach ein ausprobierte Lösung.
> Bei 1. seh ich schon mal dass die konstante Fkt x(t)=1 eine
> Lösung ist.

Nicht nur die. Auch [mm] x(t)=1+k*$\pi$. [/mm]
Gruß Abakus

> Bei 2. hab ichs über Substitution probiert,
> komme aber nicht hin.
> Vielen Dank schon mal
> LG,
> petapahn

>

Bezug
                
Bezug
DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:41 Do 24.07.2014
Autor: petapahn

Hallo abakus,

Bei [mm] x(t)=1+k*\pi [/mm] stimmt dann aber die Anfangsbedingung nicht mehr, oder?
Fällen jamendem konkrete Lösungsansätze ein für die Lösung von 1. und 2.?
LG petapahn

Bezug
                        
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:05 Do 24.07.2014
Autor: MathePower

Hallo petapahn,

> Hallo abakus,
>  
> Bei [mm]x(t)=1+k*\pi[/mm] stimmt dann aber die Anfangsbedingung
> nicht mehr, oder?


Ja, aus der Anfangsbedingung ist das k zu ermitteln.


>  Fällen jamendem konkrete Lösungsansätze ein für die
> Lösung von 1. und 2.?


Das Problem bei 1. ist hier das

[mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{\sin\left(x-1\right)} \ dx}[/mm]

Verwende hier die Substitution [mm]\tan\left(\bruch{x-1}{2}\right)=u[/mm]

Bei 2. hilft die Substitution [mm]t*u=x[/mm] weiter.


>  LG petapahn


Gruss
MathePower

Bezug
        
Bezug
DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:21 Fr 25.07.2014
Autor: rmix22


> Löse die DGL
>  1. [mm]x'(t)=t^2*sin(x-1),[/mm] x(2)=1
>  2. [mm]x'(t)=\bruch{x}{t}-\sqrt{1-\bruch{x}{t}},[/mm] x(1)=1/2
>  
> Guten Abend,
>  kann mir jemand helfen bei den DGL. Ich bräuchte einfach
> einen Ansatz (also zB Trennung der Variablen etc) zu beiden
> DGL und bitte nicht einfach ein ausprobierte Lösung.
> Bei 1. seh ich schon mal dass die konstante Fkt x(t)=1 eine
> Lösung ist. Bei 2. hab ichs über Substitution probiert,
> komme aber nicht hin.
> Vielen Dank schon mal
>  LG,
>  petapahn
>  

Die zweite DGL ist eine gleichgradige DGL (o.a. Ähnlichkeits-DGL). Die passende Substitution ist [mm] $\frac{x(t)}{t}=z(t)$. [/mm]
Mit $x(t)=t*z(t)$ und [mm] $\frac{dx}{dt}=z(t)+t*\frac{dz}{dt}$ [/mm] kommst du dann auf eine DGL in z und t, welche sich durch Trennen der Variablen lösen lässt.


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