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Bruch umformen: Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:36 Di 22.11.2016
Autor: pc_doctor

Aufgabe
Zeige Konvergenz von:
n -> [mm] \infty [/mm] von [mm] a_n [/mm] = [mm] (\bruch{n+1}{n-1})^n [/mm]





Hallo,

ich würde gerne auf (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm] kommen, weil

e := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] \bruch{1}{n})^n [/mm]

Ich habe also einfach eine Polynomdivision gemacht
(n+1):(n-1)  = 1 + [mm] \bruch{2}{n-1} [/mm]

Jetzt habe ich also

( 1 + [mm] \bruch{2}{n-1} )^n [/mm]

Ich dachte an eine "0 dazu addieren", aber bringt mich wohl nicht weiter. Was kann ich mit dem Bruch noch machen?

Zweite, wichtigere Frage: Muss ich hier eigentlich was machen? Macht es einen Unterschied, ob im Nenner jetzt n oder n-1 steht? Da n gege unendlich läuft, ist dieses -1 ja wohl kein Problem, oder? Theoretisch könnte da im Nenner auch [mm] n-10^6 [/mm] stehen, das wäre immer noch der gleiche Grenzwert. liegt alles in der Epsilon Umgebung. Von daher: Macht es Sinn, oder kann ich hier direkt als Ergebnis [mm] e^2 [/mm] schreiben, denn diese Folge konvergiert gegen [mm] e^2. [/mm]
Vielen Dank im Voraus.


        
Bezug
Bruch umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:26 Mi 23.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo

> Zeige Konvergenz von:
> n -> [mm]\infty[/mm] von [mm]a_n[/mm] = [mm](\bruch{n+1}{n-1})^n[/mm]

>
>
>
>

> Hallo,

>

> ich würde gerne auf (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm] kommen, weil

>

> e := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1 + [mm]\bruch{1}{n})^n[/mm]

>

> Ich habe also einfach eine Polynomdivision gemacht
> (n+1):(n-1) = 1 + [mm]\bruch{2}{n-1}[/mm]

Das ist super, man könnte auch "geschickt aufsplitten"

[mm] \frac{n+1}{n-1}=\frac{n-1+2}{n-1}=\frac{n-1}{n-1}+\frac{2}{n-1}=1+\frac{2}{n-1} [/mm]

>

> Jetzt habe ich also

>

> ( 1 + [mm]\bruch{2}{n-1} )^n[/mm]

>

> Ich dachte an eine "0 dazu addieren", aber bringt mich wohl
> nicht weiter. Was kann ich mit dem Bruch noch machen?

>

> Zweite, wichtigere Frage: Muss ich hier eigentlich was
> machen? Macht es einen Unterschied, ob im Nenner jetzt n
> oder n-1 steht? Da n gege unendlich läuft, ist dieses -1
> ja wohl kein Problem, oder? Theoretisch könnte da im
> Nenner auch [mm]n-10^6[/mm] stehen, das wäre immer noch der gleiche
> Grenzwert. liegt alles in der Epsilon Umgebung. Von daher:
> Macht es Sinn, oder kann ich hier direkt als Ergebnis [mm]e^2[/mm]
> schreiben, denn diese Folge konvergiert gegen [mm]e^2.[/mm]

Das ist soweit ok, es ist in der Tat hier "irrelevant", ob im Nenner n oder n-1 steht.

Evtl wird es deutlicher, wenn du die Grenzvariable umdefinierst,

[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{2}{n-1}\right)^{n} [/mm]
ergibt, mit k=n-1
[mm] \lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{2}{k}\right)^{k+1} [/mm]
[mm] =\lim\limits_{k\to\infty}\left[\left(1+\frac{2}{k}\right)^{k}\cdot\left(1+\frac{2}{k}\right)^{1}\right] [/mm]
[mm] =\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{2}{k}\right)^{k}\cdot\lim\limits_{k\to\infty}\left(1+\frac{2}{k}\right)^{1} [/mm]
[mm] =e^{2}\cdot(1+0) [/mm]
[mm] =e^{2} [/mm]

> Vielen Dank im Voraus.

>

Marius

Bezug
        
Bezug
Bruch umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:47 Mi 23.11.2016
Autor: DieAcht

Hallo pc_doctor!


Es gilt

      [mm] $\left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n=\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}{\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}\longrightarrow\frac{e^1}{e^{-1}}=e^2$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$. [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Bruch umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:54 Mi 23.11.2016
Autor: M.Rex

Hallo DieAcht.

Oh, welch elegante Lösung.

Marius

Bezug
                        
Bezug
Bruch umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:28 Mi 23.11.2016
Autor: pc_doctor

Vielen Dank für die super Antworten ;)

Bezug
        
Bezug
Bruch umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:05 Di 29.11.2016
Autor: matheradler

Ich habe die Aufgabenstellung so verstanden, dass nur die Konvergenz gezeigt werden soll, nicht unbedingt der Wert ermittelt werden muß. Das geht dann  mit monotoner Konvergenz: [mm] a_{n} [/mm] ist nach unten beschränkt durch 1 und monoton fallend [mm] \Rightarrow a_{n} [/mm] ist konvergent.
Ein Beispiel für diese Methode auf meiner nicht kommerziellen Hobby-Internetsite www.sportincontro.de, Habbymathe, Analysis-1, Download 2.2, Seite 1301 und Bsp Seite 1302.
Vielleicht hilfts, auch wenn ich Mathe nur als Hobby betreibe und leider arg um Erkenntisse kämpfen muß.
Siggi


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