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Borelsche Sigma-Algebra: Aufgabe richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:14 Do 02.02.2017
Autor: tobi91_nds

Aufgabe
Es Sei [mm] $E_1=\left\{\left(a,b\right);a
Zeige, dass [mm] $\sigma\left(E_1\right) [/mm] = [mm] \sigma\left(E_2\right) [/mm] = [mm] \sigma\left(E_3\right) [/mm] = [mm] \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm] gilt.

Zur Notation: [mm] $\sigma\left(E_i\right)$ [/mm] ist der Schnitt über alle Sigma-Algebren, die [mm] $E_i$ [/mm] als Teilmenge enthalten. [mm] $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm] ist die Borelsche Sigma-Algebra.

Die Aufgabe scheint einfach zu sein, aber könnte trotzdem mal einer drüber gucken, ob alles einwandfrei ist? Immerhin ist das ziemlich formal, was ich aufgeschrieben habe.... Danke :)


Lösung:
[mm] $\left(1\right)$ $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)\subset\sigma\left(E_1\right)$: $\sigma\left(E_1\right)$ [/mm] enthält alle offenen Mengen, da sich jede offene Menge als abzählbare Vereinigung von offenen Intervallen schreiben lässt. Da [mm] $\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm] die kleinste [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, die alle offenen Mengen enthält, folgt die Behauptung.

[mm] $\left(2\right)$ $\sigma\left(E_1\right)\subset\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$: $E_1$ [/mm] enthält ausschließlich offene Mengen [mm] $\Rightarrow$ $E_1\subset\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)\Rightarrow\sigma\left(E_1\right)=\cap_{E_1\subset\mathcal{A}}\mathcal{A}\subset\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm]

[mm] $\left(3\right)$ $\sigma\left(E_1\right)\subset\sigma\left(E_2\right)$: [/mm] Sei [mm] $a,b\in\mathbb{R}$ [/mm] mit $a<b$. Dann gilt: [mm] $\left(a,b\right)=\cup_{n=1}^\infty [a+\frac{b-a}{2n},b-\frac{b-a}{2n}]$. [/mm] Somit ist [mm] $E_1\subset\sigma\left(E_2\right)\Rightarrow\sigma\left(E_1\right)\subset\sigma\left(E_2\right)$ [/mm]

[mm] $\left(4\right)$ $\sigma\left(E_2\right)\subset\sigma{E_1}$: [/mm] Seien [mm] $a,b\in\mathbb{R}$ [/mm] mit $a<b$. Dann gilt [mm] $\mathbb{R} [/mm] - [mm] \left(-\infty,a\right)=\left[a,\infty\right)\in\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)=\sigma\left(E_1\right)$ [/mm] und [mm] $[a,\infty)-\left(b,\infty\right)=[a,b]\in\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)=\sigma\left(E_1\right)\Rightarrow E_2\subset\sigma\left(E_1\right) \Rightarrow \sigma\left(E_2\right)\subset\sigma\left(E_1\right)$. [/mm] Insgesamt also [mm] $\sigma\left(E_2\right)=\sigma\left(E_1\right)$ [/mm]

[mm] $\left(5\right)$ $\sigma\left(E_3\right)\subset\sigma\left(E_1\right)$: [/mm] Die Elemente von [mm] $E_3$ [/mm] sind offene Mengen [mm] $\Rightarrow E_3\subset\sigma\left(E1\right)=\sigma\left(E2\right)=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)\Rightarrow\sigma\left(E_3\right)\subset\sigma\left(E_1\right)$ [/mm]

[mm] $\left(6\right)$ $\sigma\left(E_1\right)\subset\sigma\left(E_3\right)$: [/mm] Seien [mm] $a,b\in\mathbb{R}$ [/mm] mit $a<b$. Es gilt: [mm] $\left(a,b\right)=\cup_{n=1}^{\infty} \left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right]= \cup_{n=1}^{\infty} \left(\left(a,\infty\right) -\left(b-\frac{b-a}{2n},\infty\right)\right)\in\sigma\left(E_3\right)\Rightarrow E_1\subset\sigma\left(E_3\right)\Rightarrow\sigma\left(E_1\right)\subset\sigma\left(E_3\right)$ [/mm]

Insgesamt also: [mm] $\sigma\left(E_1\right)=\sigma\left(E_2\right)=\sigma\left(E_3\right)=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)$ [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Borelsche Sigma-Algebra: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Do 02.02.2017
Autor: fred97


> Es Sei [mm]E_1=\left\{\left(a,b\right);a
> [mm]E_2=\left\{[a,b];a
> [mm]E_3=\left\{\left(a,\infty\right);a
>  
> Zeige, dass [mm]\sigma\left(E_1\right) = \sigma\left(E_2\right) = \sigma\left(E_3\right) = \mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm]
> gilt.
>  
> Zur Notation: [mm]\sigma\left(E_i\right)[/mm] ist der Schnitt über
> alle Sigma-Algebren, die [mm]E_i[/mm] als Teilmenge enthalten.
> [mm]\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm] ist die Borelsche
> Sigma-Algebra.
>  Die Aufgabe scheint einfach zu sein, aber könnte trotzdem
> mal einer drüber gucken, ob alles einwandfrei ist?
> Immerhin ist das ziemlich formal, was ich aufgeschrieben
> habe.... Danke :)
>  
>
> Lösung:
>  [mm]\left(1\right)[/mm]
> [mm]\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)\subset\sigma\left(E_1\right)[/mm]:
> [mm]\sigma\left(E_1\right)[/mm] enthält alle offenen Mengen, da
> sich jede offene Menge als abzählbare Vereinigung von
> offenen Intervallen schreiben lässt. Da
> [mm]\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm] die kleinste
> [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, die alle offenen Mengen enthält, folgt
> die Behauptung.
>  
> [mm]\left(2\right)[/mm]
> [mm]\sigma\left(E_1\right)\subset\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm]:
> [mm]E_1[/mm] enthält ausschließlich offene Mengen [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]E_1\subset\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)\Rightarrow\sigma\left(E_1\right)=\cap_{E_1\subset\mathcal{A}}\mathcal{A}\subset\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm]
>  
> [mm]\left(3\right)[/mm]
> [mm]\sigma\left(E_1\right)\subset\sigma\left(E_2\right)[/mm]: Sei
> [mm]a,b\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]a
> [mm]\left(a,b\right)=\cup_{n=1}^\infty [a+\frac{b-a}{2n},b-\frac{b-a}{2n}][/mm].
> Somit ist
> [mm]E_1\subset\sigma\left(E_2\right)\Rightarrow\sigma\left(E_1\right)\subset\sigma\left(E_2\right)[/mm]
>  
> [mm]\left(4\right)[/mm] [mm]\sigma\left(E_2\right)\subset\sigma{E_1}[/mm]:
> Seien [mm]a,b\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]a
> und
> [mm][a,\infty)-\left(b,\infty\right)=[a,b]\in\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)=\sigma\left(E_1\right)\Rightarrow E_2\subset\sigma\left(E_1\right) \Rightarrow \sigma\left(E_2\right)\subset\sigma\left(E_1\right)[/mm].
> Insgesamt also
> [mm]\sigma\left(E_2\right)=\sigma\left(E_1\right)[/mm]
>  
> [mm]\left(5\right)[/mm]
> [mm]\sigma\left(E_3\right)\subset\sigma\left(E_1\right)[/mm]: Die
> Elemente von [mm]E_3[/mm] sind offene Mengen [mm]\Rightarrow E_3\subset\sigma\left(E1\right)=\sigma\left(E2\right)=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)\Rightarrow\sigma\left(E_3\right)\subset\sigma\left(E_1\right)[/mm]
>  
> [mm]\left(6\right)[/mm]
> [mm]\sigma\left(E_1\right)\subset\sigma\left(E_3\right)[/mm]: Seien
> [mm]a,b\in\mathbb{R}[/mm] mit [mm]a
> [mm]\left(a,b\right)=\cup_{n=1}^{\infty} \left(a,b-\frac{b-a}{2n}\right]= \cup_{n=1}^{\infty} \left(\left(a,\infty\right) -\left(b-\frac{b-a}{2n},\infty\right)\right)\in\sigma\left(E_3\right)\Rightarrow E_1\subset\sigma\left(E_3\right)\Rightarrow\sigma\left(E_1\right)\subset\sigma\left(E_3\right)[/mm]
>  
> Insgesamt also:
> [mm]\sigma\left(E_1\right)=\sigma\left(E_2\right)=\sigma\left(E_3\right)=\mathcal{B}\left(\mathbb{R}\right)[/mm]
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

ich hab nichts zu meckern, alles richtig!




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