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Bolzano-Weierstraß,Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Mi 12.11.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Jede beschränkte Folge von reellen Nummern hat einen Häufungswert.

Ich verstehe den beweis, nur der Schluß macht mir Probleme warum der konstruierte Punkt nur ein Häufungswert und kein Grenzwert ist.
Unsere Definition für Häufungswert:
[mm] \forall \epsilon>0 \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] m [mm] \ge [/mm] N: [mm] |a_m-a|<\epsilon [/mm]

Der Beweis in eigenen Worten widergegeben:

-) Sei [mm] (a_n) [/mm] eine beliebige beschränkte Folge: [mm] \exists [/mm] K [mm] \in \IR [/mm] : [mm] |a_n| \le [/mm] K [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]

-) Konstruiere Menge [mm] A=\{x \in \IR: a_n >x \mbox{für endlich viele }n\} [/mm]
A [mm] \not=\emptyset [/mm] da K [mm] \in [/mm] A, weil ja rechts von K endlich viele, in dem Fall keine, Folgenglieder liegen.
A ist nach unten beschränkt durch -K, weil wenn x< -K => x [mm] \not\in [/mm] A
=> [mm] \exists [/mm] infA=:a

-) Sei [mm] \epsilon>0 [/mm]
a+ [mm] \epsilon [/mm] >0 keine untere Schranke, d.h. [mm] \exists [/mm] y [mm] \in [/mm] A: [mm] y Da y [mm] \in [/mm] A gilt für fast alle n, bis auf endlich viele [mm] a_n \le [/mm] y
=> [mm] a_n [/mm] < a+ [mm] \epsilon \gdw a_n [/mm] - a < [mm] \epsilon \forall [/mm] n ab einen bestimmten Index.

-) Sei [mm] \epsilon>0 [/mm]
[mm] a-\epsilon [/mm] < a untere SChranke von A aber nicht die größte
=> [mm] a-\epsilon \not\in [/mm] A, d.h. für fast alle n ist [mm] a-\epsilon [/mm] < [mm] a_n [/mm]
[mm] \gdw -a_n [/mm] + a [mm] <\epsilon \forall [/mm] n ab einen bestimmen Index.

Jetzt haben wir doch gezeigt, dass für beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] ab einen bestimmen Index gilt:
[mm] |a_n-a| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]
Was bedeuten würde, dass a ein Grenzwert ist und nicht nur Häufungswert? Was verstehe ich hier falsch?

        
Bezug
Bolzano-Weierstraß,Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:38 Do 13.11.2014
Autor: fred97


> Jede beschränkte Folge von reellen Nummern hat einen
> Häufungswert.
>  Ich verstehe den beweis, nur der Schluß macht mir
> Probleme warum der konstruierte Punkt nur ein Häufungswert
> und kein Grenzwert ist.
>  Unsere Definition für Häufungswert:
>  [mm]\forall \epsilon>0 \forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists[/mm] m [mm]\ge[/mm] N:
> [mm]|a_m-a|<\epsilon[/mm]
>  
> Der Beweis in eigenen Worten widergegeben:
>  
> -) Sei [mm](a_n)[/mm] eine beliebige beschränkte Folge: [mm]\exists[/mm] K
> [mm]\in \IR[/mm] : [mm]|a_n| \le[/mm] K [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
>  
> -) Konstruiere Menge [mm]A=\{x \in \IR: a_n >x \mbox{für endlich viele }n\}[/mm]
>  
> A [mm]\not=\emptyset[/mm] da K [mm]\in[/mm] A, weil ja rechts von K endlich
> viele, in dem Fall keine, Folgenglieder liegen.
>  A ist nach unten beschränkt durch -K, weil wenn x< -K =>

> x [mm]\not\in[/mm] A
>  => [mm]\exists[/mm] infA=:a

>  
> -) Sei [mm]\epsilon>0[/mm]
>  a+ [mm]\epsilon[/mm] >0 keine untere Schranke, d.h. [mm]\exists[/mm] y [mm]\in[/mm]
> A: [mm]y
>  Da y [mm]\in[/mm] A gilt für fast alle n, bis auf endlich viele
> [mm]a_n \le[/mm] y
>  => [mm]a_n[/mm] < a+ [mm]\epsilon \gdw a_n[/mm] - a < [mm]\epsilon \forall[/mm] n ab

> einen bestimmten Index.


Das ist O.K.


>  
> -) Sei [mm]\epsilon>0[/mm]
>  [mm]a-\epsilon[/mm] < a untere SChranke von A aber nicht die
> größte
>  => [mm]a-\epsilon \not\in[/mm] A, d.h. für fast alle n ist

> [mm]a-\epsilon[/mm] < [mm]a_n[/mm]


Das ist nicht O.K. Es gilt nur:

[mm]a-\epsilon[/mm] < [mm]a_n[/mm]  für unendlich viele n !!!

FRED

>  [mm]\gdw -a_n[/mm] + a [mm]<\epsilon \forall[/mm] n ab einen bestimmen
> Index.
>  
> Jetzt haben wir doch gezeigt, dass für beliebiges
> [mm]\epsilon>0[/mm] ab einen bestimmen Index gilt:
>  [mm]|a_n-a|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]
> Was bedeuten würde, dass a ein Grenzwert ist und nicht nur
> Häufungswert? Was verstehe ich hier falsch?


Bezug
                
Bezug
Bolzano-Weierstraß,Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:49 Do 13.11.2014
Autor: sissile

Hallo Fred, danke für die Antwort.

Aber wieso ist der Schluss bei dem vorigen Absatz richtig?

>  Da y $ [mm] \in [/mm] $ A gilt für fast alle n, bis auf endlich viele
> $ [mm] a_n \le [/mm] $ y
>  => $ [mm] a_n [/mm] $ < a+ $ [mm] \epsilon \gdw a_n [/mm] $ - a < $ [mm] \epsilon \forall [/mm] $ n ab

> einen bestimmten Index.


> Das ist O.K.

Das müsste dann ja auch falsch sein, und ich kann nur schreiben:
[mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] a_n [/mm] <a [mm] +\epsilon [/mm]

LG,
sissi

Bezug
                        
Bezug
Bolzano-Weierstraß,Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:41 Do 13.11.2014
Autor: fred97


> Hallo Fred, danke für die Antwort.
>  
> Aber wieso ist der Schluss bei dem vorigen Absatz richtig?
>  >  Da y [mm]\in[/mm] A gilt für fast alle n, bis auf endlich
> viele
>  > [mm]a_n \le[/mm] y

>  >  => [mm]a_n[/mm] < a+ [mm]\epsilon \gdw a_n[/mm] - a < [mm]\epsilon \forall[/mm] n

> ab
>  
> > einen bestimmten Index.
>  
>
> > Das ist O.K.
> Das müsste dann ja auch falsch sein


Nein, das ist richtig.


> , und ich kann nur
> schreiben:
>  [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN \exists[/mm] n [mm]\ge[/mm] N : [mm]a_n[/mm] <a [mm]+\epsilon[/mm]
>
> LG,
>  sissi


Wir haben:

(1) [mm] a_n
und

(2)  a- [mm] \epsilon [/mm] < [mm] a_n [/mm] für unendlich viele n.

(1) und (2) zusammen ergibt

   [mm] |a_n-a|< \epsilon [/mm] für unendlich viele n,

wie gewünscht !

FRED

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