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Beweise: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:40 Di 22.04.2014
Autor: bquadrat

Aufgabe
Dichtheit der rationalen Zahlen in [mm] \IR [/mm]
Beweisen Sie: Zwischen je zwei unterschieldichen reellen Zahlen liegt eine rationale Zahl. Anders formuliert: Zu je zwei Zahlen [mm] a,b\in\IR [/mm] mit a<b existiert ein [mm] q\in\IQ [/mm] mit a<q<b. Hinweis: Im Fall 0<a<b kann das gesuchte q in der Form [mm] \bruch{m}{n} [/mm] dargestellt werden, wobei [mm] n,b\in\IN [/mm] , [mm] \bruch{1}{n}a [/mm] ist.

Ich finde bei dieser Aufgabe leider gar keinen Ansatz und weiß nicht, wie ich das ganze angehen soll. Könnte mir bitte jemand helfen?

Dank im Voraus

[mm] b^{2} [/mm]

        
Bezug
Beweise: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:53 Di 22.04.2014
Autor: DieAcht

Hallo [mm] b^2, [/mm]


Ich formuliere die Behauptung äquivalent um, damit diese
nicht mehr so fürchterlich chaotisch aussieht.

Seien [mm] a,b\in\IR [/mm] mit [mm] $a
Zu zeigen: Es existieren [mm] m\in\IZ [/mm] und [mm] n\in\IN [/mm] mit

      [mm] a<\frac{m}{n}
Fahrplan:

Zeige unter obigen Voraussetzungen, dass ein [mm] n\in\IN [/mm] existiert mit

      $n(b-a)>1$

und folgere

      $na<m<nb$

bzw. die Behauptung.


Gruß
DieAcht

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