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Beweis mit Hilbert-Kalkül: Tipp zur Lösung
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 23:16 Sa 25.11.2017
Autor: schokoschnecke

Aufgabe 1
1. $(A [mm] \rightarrow [/mm] B) [mm] \rightarrow (\neg B\rightarrow \neg [/mm] A)$

Aufgabe 2
2. $A [mm] \rightarrow (\neg [/mm] B [mm] \rightarrow \neg [/mm] (A [mm] \rightarrow [/mm] B))$

Hallo,
ich soll mithilfe der drei Axiome des Hilbert-Kalküls und dem Modus Ponens die beiden Ausdrücke herleiten. [mm] $\neg\neg [/mm] A [mm] \rightarrow [/mm] A$ und $A [mm] \rightarrow \neg\neg [/mm] A$ habe ich schon bewiesen und kann ich somit verwenden.

Axiome:
1. [mm] $F\rightarrow(G\rightarrow [/mm] F)$
2. [mm] $(F\rightarrow(G\rightarrow H))\rightarrow(F\rightarrow G)\rightarrow(F\rightarrow [/mm] H)$
3. [mm] $(\neg F\rightarrow \neg [/mm] G) [mm] \rightarrow [/mm] (G [mm] \rightarrow [/mm] F)$

Mein Ansatz für die erste Aufgabe lautet (ich habe von unten begonnen):
????
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash A\rightarrow [/mm] B$   Deduktionstheorem
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash [/mm] B [mm] \rightarrow \neg\neg [/mm] B$  
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash \neg\neg [/mm] B$  MP
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash \neg\neg [/mm] B [mm] \rightarrow(\neg\neg [/mm] A [mm] \rightarrow \neg\neg [/mm] B)$   Axiom 1
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash (\neg\neg [/mm] A [mm] \rightarrow \neg\neg [/mm] B)$   MP
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash (\neg\neg [/mm] A [mm] \rightarrow \neg \neg [/mm] B) [mm] \rightarrow (\neg B\rightarrow\neg [/mm] A))$   Axiom 3
[mm] $\{A\rightarrow B)\} \vdash (\neg [/mm] B [mm] \rightarrow \neg [/mm] A)$    MP
[mm] $\vdash [/mm] (A [mm] \rightarrow [/mm] B) [mm] \rightarrow (\neg B\rightarrow \neg [/mm] A)$

Zum Lösen von 1. fehlt mir also eigentlich nur noch ein Weg, um A abzuleiten, sodass über B zu [mm] $\neg\neg [/mm] B$ komme - falls mein Weg so möglich ist. Ich sehe allerdings nicht, wie ich zu A gelangen soll.

Zu Aufgabe 2:
???
[mm] $\{A\} \vdash [/mm] B [mm] \rightarrow \neg\neg [/mm] B $
[mm] $\{A\} \vdash \neg\neg [/mm] B  [mm] \rightarrow (\neg\neg [/mm] (A [mm] \rightarrow B)\rightarrow \neg \neg [/mm] B)$   Axiom 1
[mm] $\{A\} \vdash \neg\neg [/mm] (A [mm] \rightarrow B)\rightarrow \neg \neg [/mm] B$    MP
[mm] $\{A\} \vdash (\neg\neg(A\rightarrow B)\rightarrow \neg\neg B)\rightarrow (\neg [/mm] B [mm] \rightarrow \neg (A\rightarrow [/mm] B))$   Axiom 3
[mm] $\{A\} \vdash \neg [/mm] B [mm] \rightarrow \neg (A\rightarrow [/mm] B)$
[mm] $\vdash [/mm] A [mm] \rightarrow (\neg [/mm] B [mm] \rightarrow \neg (A\rightarrow [/mm] B))$

Auch bei Aufgabe 2 fehlt mir also irgendwie wieder der Weg zu B.

Hat jemand eine Idee, wie ich zur Lösung kommen kann? Sind meine Ansätze überhaupt richtig, oder liegt da schon der Fehler?

        
Bezug
Beweis mit Hilbert-Kalkül: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:20 So 03.12.2017
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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