Beweis Kettenregel < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:23 Fr 06.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo zusammen!
Ich habe Fragen zum Beweis der Kettenregel, wie er im Forster geführt wird.
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Die Kettenregel: Seien f: V [mm] \rightarrow \IR [/mm] und g: W [mm] \rightarrow \IR [/mm] Funktionen mit f(V) [mm] \subset [/mm] W.
Die Funktion f sei im Punkt x [mm] \in [/mm] V differenzierbar und g sei in y:=f(x) [mm] \in [/mm] W differenzierbar. Dann ist die zusammengesetzte Funktion
g [mm] \circ [/mm] f: v [mm] \rightarrow \IR
[/mm]
im Punkt x differenziarbar und es gilt
(g [mm] \circ [/mm] f)'(x) = g'(f(x)) f'(x).
Beweis: Man definiere die Funktion [mm] g^{\*}: [/mm] W [mm] \rightarrow \IR [/mm] durch
[mm] g^{\*}(\eta):= \begin{cases} \frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}, & \mbox{falls } \eta \not= y \\ g'(y), & \mbox{falls } \eta = y \end{cases}.
[/mm]
Da g in y differenzierbar ist, gilt
[mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] = g'(y).
Außerdem gilt für alle [mm] \eta \in [/mm] W
[mm] g(\eta) [/mm] - g(y) = [mm] g^{\*}(\eta)(\eta [/mm] - y).
Damit erhält man
(g [mm] \circ [/mm] f)'(x) = [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{g(f(\xi)) - g(f(x))}{\xi - x} [/mm] = [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{g^{\*}(f(\xi)) (f(\xi) - f(x))}{\xi - x} [/mm]
= [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x} [/mm] = g'(f(x)) f'(x)
---
Nun zu meinen Fragen:
1) a) Zunächst einmal verstehe ich die Definition der Funktion [mm] g^{\*}(\eta) [/mm] nicht so ganz. Macht man diese Fallunterscheidung, weil man alle Funktionswerte f(x) als Argumente der Funktion g zulassen möchte und den Fall ausschließen muss, dass [mm] \eta [/mm] = y ist, da sonst der Nenner im Differenzenquotienten 0 ergeben würde?
b) Und bezeichnet g'(y) den Grenzwert des Differenzenquotienten für [mm] \eta \rightarrow [/mm] y ?
2) Wird an der Stelle "Da g in y differenzierbar ist, gilt [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] = g'(y)."
die Stetigkeit (diese folgt ja aus der Differenziarbarkeit) der Funktion g benutzt, also dass [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] gilt?
Und greift hier wegen [mm] \eta [/mm] = y in der Definition, dass [mm] g^{\*}(y) [/mm] = g'(y) ist?
3) Wieso gilt für alle [mm] \eta \in [/mm] W
[mm] g(\eta) [/mm] - g(y) = [mm] g^{\*}(\eta)(\eta [/mm] - y) ?
Wo es mir einleuchtet ist der Fall [mm] \eta \not= [/mm] y, denn dann folgt aus [mm] g^{\*}(\eta):= \frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}, [/mm] dass [mm] g(\eta) [/mm] - g(y) = [mm] g^{\*}(\eta)(\eta [/mm] - y) ist. Aber wieso gilt [mm] g(\eta) [/mm] - g(y) = [mm] g^{\*}(\eta)(\eta [/mm] - y) auch für [mm] \eta [/mm] = y ?
4) Wird im Schritt
[mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x} [/mm] = g'(f(x)) f'(x)
die Tatsache benutzt, dass f stetig ist und somit dass für [mm] \xi \rightarrow [/mm] x [mm] f(\xi) \rightarrow [/mm] f(x)? Und wegen [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] = g'(y) gilt dann [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) [/mm] = g'(f(x)) ?
Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar! 
Viele Grüße,
X3nion
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> Hallo zusammen!
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> Ich habe Fragen zum Beweis der Kettenregel, wie er im
> Forster geführt wird.
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> Die Kettenregel: Seien f: V [mm]\rightarrow \IR[/mm] und g: W
> [mm]\rightarrow \IR[/mm] Funktionen mit f(V) [mm]\subset[/mm] W.
> Die Funktion f sei im Punkt x [mm]\in[/mm] V differenzierbar und g
> sei in y:=f(x) [mm]\in[/mm] W differenzierbar. Dann ist die
> zusammengesetzte Funktion
>
> g [mm]\circ[/mm] f: v [mm]\rightarrow \IR[/mm]
>
> im Punkt x differenziarbar und es gilt
>
> (g [mm]\circ[/mm] f)'(x) = g'(f(x)) f'(x).
>
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> Beweis: Man definiere die Funktion [mm]g^{\*}:[/mm] W [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> durch
>
> [mm]g^{\*}(\eta):= \begin{cases} \frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}, & \mbox{falls } \eta \not= y \\ g'(y), & \mbox{falls } \eta = y \end{cases}.[/mm]
>
> Da g in y differenzierbar ist, gilt
>
> [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]g^{\*}(y)[/mm] =
> g'(y).
>
> Außerdem gilt für alle [mm]\eta \in[/mm] W
>
> [mm]g(\eta)[/mm] - g(y) = [mm]g^{\*}(\eta)(\eta[/mm] - y).
>
> Damit erhält man
>
> (g [mm]\circ[/mm] f)'(x) = [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} \frac{g(f(\xi)) - g(f(x))}{\xi - x}[/mm]
> = [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} \frac{g^{\*}(f(\xi)) (f(\xi) - f(x))}{\xi - x}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x}[/mm]
> = g'(f(x)) f'(x)
>
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>
>
> Nun zu meinen Fragen:
>
> 1) a) Zunächst einmal verstehe ich die Definition der
> Funktion [mm]g^{\*}(\eta)[/mm] nicht so ganz. Macht man diese
> Fallunterscheidung, weil man alle Funktionswerte f(x) als
> Argumente der Funktion g zulassen möchte und den Fall
> ausschließen muss, dass [mm]\eta[/mm] = y ist, da sonst der Nenner
> im Differenzenquotienten 0 ergeben würde?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b) Und bezeichnet g'(y) den Grenzwert des
> Differenzenquotienten für [mm]\eta \rightarrow[/mm] y ?
>
> 2) Wird an der Stelle "Da g in y differenzierbar ist, gilt
> [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]g^{\*}(y)[/mm] = g'(y)."
> die Stetigkeit (diese folgt ja aus der
> Differenziarbarkeit) der Funktion g benutzt, also dass
> [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]g^{\*}(y)[/mm] gilt?
>
Sinnvoller wäre es aber gewesen, das so herum zu schreiben:
[mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}\frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}[/mm] [mm]= g'(y) = g^{\*}(y)[/mm] .
> Und greift hier wegen [mm]\eta[/mm] = y in der Definition, dass
> [mm]g^{\*}(y)[/mm] = g'(y) ist?
>
> 3) Wieso gilt für alle [mm]\eta \in[/mm] W
> [mm]g(\eta)[/mm] - g(y) = [mm]g^{\*}(\eta)(\eta[/mm] - y) ?
>
> Wo es mir einleuchtet ist der Fall [mm]\eta \not=[/mm] y, denn dann
> folgt aus [mm]g^{\*}(\eta):= \frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y},[/mm]
> dass [mm]g(\eta)[/mm] - g(y) = [mm]g^{\*}(\eta)(\eta[/mm] - y) ist. Aber
> wieso gilt [mm]g(\eta)[/mm] - g(y) = [mm]g^{\*}(\eta)(\eta[/mm] - y) auch
> für [mm]\eta[/mm] = y ?
>
Für [mm] \eta \ne [/mm] y ist dies klar, da man die Funktionsgleichung nur umgestellt hat.
Für [mm] \eta=y [/mm] wird die linke Seite 0 und die Klammer auf der rechten ebenfalls. Falls [mm] g^{\*} [/mm] endlich ist, kann [mm] g^{\*} [/mm] dort sogar einen beliebigen Wert k haben, denn 0=k*0 ist dann richtig. (Allerdings wäre [mm] g^{\*} [/mm] dann nicht unbedingt stetig in y.)
> 4) Wird im Schritt
>
> [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) \limes_{\xi \rightarrow x} \frac{f(\xi) - f(x)}{\xi - x}[/mm]
> = g'(f(x)) f'(x)
>
> die Tatsache benutzt, dass f stetig ist
Ja, und auch differenzierbar!
> und somit dass für
> [mm]\xi \rightarrow[/mm] x [mm]f(\xi) \rightarrow[/mm] f(x)? Und wegen
> [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]g^{\*}(y)[/mm] = g'(y)
> gilt dann [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi))[/mm] =
> g'(f(x)) ?
>
>
>
> Für eure Antworten wäre ich wie immer sehr dankbar!
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:06 Fr 06.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Hallo,
danke für das Hinüberschauen auf meine Fragen und für die Ausführungen!
>
> 2) Wird an der Stelle "Da g in y differenzierbar ist, gilt
> [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] = g'(y)."
> die Stetigkeit (diese folgt ja aus der
> Differenziarbarkeit) der Funktion g benutzt, also dass
> [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] gilt?
>
> Sinnvoller wäre es aber gewesen, das so herum zu schreiben:
> [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}\frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y} [/mm] = g'(y) = [mm] g^{\*}(y) [/mm] .
So wie du es umformuliert hast: wird dann genau genommen die Differenzierbarkeit von g in y benutzt, also dass [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}\frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y} [/mm] = g'(y) ?
Ich hatte ja gefragt, ob an der Stelle [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta) [/mm] = [mm] g^{\*}(y) [/mm] die Stetigkeit von g benutzt wird, und da hast du geschrieben ja.
Gibt es also mehrere Möglichkeiten, den Schritt zu begründen?
> Für [mm] \eta \ne [/mm] y ist dies klar, da man die Funktionsgleichung nur
> umgestellt hat.
> Für [mm] \eta=y [/mm] wird die linke Seite 0 und die Klammer auf der rechten
> ebenfalls. Falls [mm] g^{\*} [/mm] endlich ist, kann [mm] g^{\*} [/mm] dort sogar einen beliebigen > Wert k haben, denn 0=k*0 ist dann richtig. (Allerdings wäre [mm] g^{\*} [/mm] dann
> nicht unbedingt stetig in y.)
Wie meinst du das mit der Endlichkeit von [mm] g^{\*}, [/mm] und wieso wäre [mm] g^{\*} [/mm] dann nicht unbedingt stetig in y?
Und wieso gilt nochmal [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) [/mm] = g'(f(x))?
Es gilt ja wegen der Stetigkeit von f [mm] f(\xi) \rightarrow [/mm] f(x) für [mm] \xi \rightarrow [/mm] x.
Kann man dann also auch sagen, dass [mm] \eta \rightarrow [/mm] y für [mm] \xi \rightarrow [/mm] x und deshalb [mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi)) [/mm] = g'(f(x))
Viele Grüße,
X3nion
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> Hallo,
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> danke für das Hinüberschauen auf meine Fragen und für
> die Ausführungen!
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> > 2) Wird an der Stelle "Da g in y differenzierbar ist, gilt
> > [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]g^{\*}(y)[/mm]
> = g'(y)."
> > die Stetigkeit (diese folgt ja aus der
> > Differenziarbarkeit) der Funktion g benutzt, also dass
> > [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]g^{\*}(y)[/mm]
> gilt?
> >
>
>
>
> > Sinnvoller wäre es aber gewesen, das so herum zu
> schreiben:
>
> > [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm] = [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}\frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}[/mm]
> = g'(y) = [mm]g^{\*}(y)[/mm] .
>
> So wie du es umformuliert hast: wird dann genau genommen
> die Differenzierbarkeit von g in y benutzt, also dass
> [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}\frac{g(\eta) - g(y)}{\eta - y}[/mm]
> = g'(y) ?
>
> Ich hatte ja gefragt, ob an der Stelle [mm]\limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)[/mm]
> = [mm]g^{\*}(y)[/mm] die Stetigkeit von g benutzt wird, und da
> hast du geschrieben ja.
> Gibt es also mehrere Möglichkeiten, den Schritt zu
> begründen?
>
Zunächst: [mm] g^{\*}(y) [/mm] wird für [mm] \eta \ne [/mm] y als Differenzenquotient und für [mm] \eta [/mm] = y als "etwas anderes", nämlich g'(y), definiert.
Da nun aber g differenzierbar ist, existiert der Limes des Differenzenquotienten (und damit eben auch der Limes von [mm] g^{\*}), [/mm] und dieser Limes hat den Wert g'(y). Da man aber GOTTSEIDANK [mm] g^{\*}(y) [/mm] als g'(y) festgelegt hat, erweist sich NUN erst durch diese Festlegung(!), dass [mm] \limes_{\eta \rightarrow y}g^{\*}(\eta)=g^{\*}(y) [/mm] und damit [mm] g^{\*} [/mm] in y stetig ist.
Die Stetigkeit von g reicht also hier für die Argumentation nicht aus, die Differenzierbarkeit von g muss vorausgesetzt werden. Damit muss g natürlich auch stetig sein.
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> > Für [mm]\eta \ne[/mm] y ist dies klar, da man die
> Funktionsgleichung nur
> > umgestellt hat.
>
> > Für [mm]\eta=y[/mm] wird die linke Seite 0 und die Klammer auf der
> rechten
> > ebenfalls. Falls [mm]g^{\*}[/mm] endlich ist, kann [mm]g^{\*}[/mm] dort sogar
> einen beliebigen > Wert k haben, denn 0=k*0 ist dann
> richtig. (Allerdings wäre [mm]g^{\*}[/mm] dann
> > nicht unbedingt stetig in y.)
>
> Wie meinst du das mit der Endlichkeit von [mm]g^{\*},[/mm] und wieso
> wäre [mm]g^{\*}[/mm] dann nicht unbedingt stetig in y?
>
Wenn man [mm] g^{\*} [/mm] nur als obigen Differenzenquotienten definiert, hat [mm] g^{\*} [/mm] bei [mm] \eta [/mm] = y eine Definitionslücke. Da wir nun (s. meine Anmerkung oben) wissen, dass sich [mm] g^{\*} [/mm] dort dem Wert g'(y) nähert, können wir diese Lücke mit g'(y) STETIG ergänzen (s.o.). Das müssen wir aber nicht tun. Wir könnte ja einfach [mm] g^{\*}(y)=4711 [/mm] setzen, und nun wäre [mm] g^{\*} [/mm] in y nicht stetig (falls g'(y) nicht zufällig gleich 4711 ist), und unsere ganze weitere Argumentation wäre nicht haltbar (s.u.).
Trotzdem würde aber gelten: [mm] g^{\*}(\eta)*(\eta-y)=g(\eta)-g(y), [/mm] denn für [mm] \eta \ne [/mm] y stimmt die Gleichung mit der Definition von [mm] g^{\*} [/mm] überein (umgeformt); für [mm] \eta=y [/mm] erhielte man nun 4711*(y-y)=g(y)-g(y), also 4711*0=0, und das stimmt ja auch. Die Gleichung wäre also für jeden beliebigen Wert von [mm] g^{\*}(y) [/mm] richtig, er müsste gar nicht g'(y) heißen. Natürlich ist er auch für g'(y) richtig.
>
> Und wieso gilt nochmal [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi))[/mm]
> = g'(f(x))?
Oben habe ich noch mal klargestellt, dass durch die Definition [mm] g^{\*}(y)=g'(y) [/mm] die Funktion [mm] g^{\*} [/mm] stetig wird. f ist (da differenzierbar) ebenfalls stetig. Deshalb kannst du nun den Limes durch beide Funktionen durchziehen:
[mm] \limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi))=g^{\*}(\limes_{\xi \rightarrow x}f(\xi))= g^{\*}(f(\limes_{\xi \rightarrow x}\xi))=g^{\*}(f(x))=g^{\*}(y)=g'(y).
[/mm]
> Es gilt ja wegen der Stetigkeit von f [mm]f(\xi) \rightarrow[/mm]
> f(x) für [mm]\xi \rightarrow[/mm] x.
> Kann man dann also auch sagen, dass [mm]\eta \rightarrow[/mm] y
> für [mm]\xi \rightarrow[/mm] x und deshalb [mm]\limes_{\xi \rightarrow x} g^{\*}(f(\xi))[/mm]
> = g'(f(x))
Ja.
>
>
>
> Viele Grüße,
> X3nion
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mo 09.01.2017 | | Autor: | X3nion |
Vielen Dank für den ausführlichen Beitrag und die tolle Erklärung, nun leuchtet es mir ein!!
Viele Grüße,
X3nion
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