Bestimmung von PI mit Newton < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:13 Di 12.10.2010 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | Die iterative Behandlung des Problems:
[mm]f(x)=1-sin(\bruch{x}{2})=0[/mm]
gestattet es, [mm] \pi [/mm] zu approximieren.
Es gilt
[mm]f(x^{#})=F(\pi)=0[/mm]
Ausgehend von [mm] x_0 [/mm] = 3 konvergiert das Newton-Verfahren nur langsam gegen die Lösung. erst für
[mm] x_{16} [/mm] = 3.14159049
erreicht man zwar
[mm] |f(x_{16})|<10^-12
[/mm]
allerdings bei schwacher Approximationsgüte |
So, ich habe nun versucht das ganze per Hand zu machen, doch ich komme da auf komplett andere Ergebnisse als im Skript.
Newtonische Näherungsverfahren:
[mm] x_{k+1}=x_k [/mm] - [mm] \bruch{f(x_k)}{f'(x_k)}
[/mm]
So als Startwert x = 3
[mm] x_1 [/mm] = 3 - [mm] \bruch{1-sin(\bruch{3}{2})}{\bruch{1}{2}*-cos(\bruch{3}{2})} [/mm] = 4,948313742
[mm] x_2 [/mm] = 4,948313742 - [mm] \bruch{1-sin(\bruch{4,948313742}{2})}{\bruch{1}{2}*-cos(\bruch{4,948313742}{2})} [/mm] = 6,863761804
So wenn ich das bis [mm] X_{16} [/mm] mache werden die Zahlen aber nur größer...
Wo liegt denn hier mein Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Di 12.10.2010 | | Autor: | Vertax |
Ich glaube herrausgefunden zu haben das es etwas mit dem Bogenmass zu tun hat wenn ich mich nicht irre?
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> Die iterative Behandlung des Problems:
> [mm]f(x)=1-sin(\bruch{x}{2})=0[/mm]
> gestattet es, [mm]\pi[/mm] zu approximieren.
Das ist allerdings eine sehr schlechte Idee.
> Es gilt
> [mm]f(x^{#})=F(\pi)=0[/mm]
>
> Ausgehend von [mm]x_0[/mm] = 3 konvergiert das Newton-Verfahren nur
> langsam gegen die Lösung. erst für
>
> [mm]x_{16}[/mm] = 3.14159049
>
> erreicht man zwar
> [mm]|f(x_{16})|<10^-12[/mm]
> allerdings bei schwacher Approximationsgüte
> So, ich habe nun versucht das ganze per Hand zu machen,
> doch ich komme da auf komplett andere Ergebnisse als im
> Skript.
>
> Newtonische Näherungsverfahren:
> [mm]x_{k+1}=x_k[/mm] - [mm]\bruch{f(x_k)}{f'(x_k)}[/mm]
>
> So als Startwert x = 3
>
>
> [mm]x_1\ =\ 3 -\bruch{1-sin(\bruch{3}{2})}{\bruch{1}{2}*-cos(\bruch{3}{2})}[/mm]
> = 4,948313742 ![[notok]](http://m7.teximg.de/static/images/smileys/notok.gif "[notok]")
ich erhalte da etwa 3.0708... !
>
> [mm]x_2[/mm] = 4,948313742 -
> [mm]\bruch{1-sin(\bruch{4,948313742}{2})}{\bruch{1}{2}*-cos(\bruch{4,948313742}{2})}[/mm]
> = 6,863761804
>
> So wenn ich das bis [mm]X_{16}[/mm] mache werden die Zahlen aber nur
> größer...
>
> Wo liegt denn hier mein Fehler?
Es sieht so aus, dass du statt im Bogenmaß im Gradmaß
gerechnet hast !
Die Gleichung (sin(x))' = cos(x) gilt nur im Bogenmaß !
Und übrigens hat die Gleichung [mm] 1-sin(\bruch{x}{2})=0 [/mm] im
Gradmaß die Lösung x=180 (anstatt [mm] x=\pi) [/mm] !
Dass diese Iteration aber eine grottenschlechte Idee zur
numerischen Bestimmung von [mm] \pi [/mm] ist, liegt daran, dass man
hier anstatt eines klaren Schnittpunktes (Kreuzungspunkt)
einen Tangentenberührungspunkt sucht. Dabei muss
das Newtonsche Verfahren praktisch versagen.
Ausserdem ist es numerisch sehr unpraktisch, dass man für
die Iterationsrechnungen Sinus- und Cosinuswerte braucht,
welche numerisch gesehen "teuer" sind - eigentlich so "teuer"
wie der eigentlich gesuchte Wert der Zahl [mm] \pi [/mm] .
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Di 12.10.2010 | | Autor: | Vertax |
Ju das dies nicht das gelbe vom Ei ist um PI zu bestimmen war mir kla. Nur kann ich mir die Aufgabe nicht aussuchen die mir der Prof stellt, im wesentlichen ging es hier auch darum den Unterschied zwischen normalen Newtonverfahren und Newtonverfahren mit vielfachen schritten zu demonstrieren, da bei einer vervielfachung mit 2 eine bessere approximations genauigkeit zu erreichen ist.
Mein Fehler war tatsächlich das ich im Gradmass und nicht im Bogenmass gerechnet habe.
Danke dir
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