Bestimmen von Basis im R1x5 < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Fr 21.11.2014 | | Autor: | mac257 |
| Aufgabe | Sei $U$ der von [mm]v_{1}:=(0,2,3,-2,1), v_{2}:=(1,7,7,0,3), v_{3}:=(1,3,1,4,1), v_{4}:=(2,8,5,6,3)[/mm] erzeugte Untervektorraum des [mm] $\IR^{1x5}$.
[/mm]
a) Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von $U$.
b) Untersuchen Sie, ob der Vektor $v:=(3,5,-3,-1,1)$ in $U$ liegt |
Ich hab echt meine Schwierigkeiten mit dieser ganzen Materie... Also um die Basis zu bestimmen brauche ich ja ein Erzeugendensystem das auch noch linear Unabhängig ist. Und da haperts auch schon... Ich müsste ja eine Matrix aus den Vektoren aufstellen und die Matrix dann in Zeilenstufenform überführen, richtig? Und an den Köpfen der Stufen könnte man die Basis identifizieren. Also:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 2 \\
2 & 7 & 3 & 8 \\
3 & 7 & 1 & 5 \\
-2 & 0 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt hat die Aufstellung natürlich nicht die richtige Form, darf ich dann einfach:
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 7 & 3 & 8 & 0 & 0 \\
3 & 7 & 1 & 5 & 0 & 0 \\
-2 & 0 & 4 & 6 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
[/mm]
ergänzen? Die Dimension ließe sich ja nachher an der Anzahl der linear unabhängigen Vektoren ablesen.
Danke schonmal.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei [mm]U[/mm] der von [mm]v_{1}:=(0,2,3,-2,1), v_{2}:=(1,7,7,0,3), v_{3}:=(1,3,1,4,1), v_{4}:=(2,8,5,6,3)[/mm]
> erzeugte Untervektorraum des [mm]\IR^{1x5}[/mm].
> a) Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von [mm]U[/mm].
> b) Untersuchen Sie, ob der Vektor [mm]v:=(3,5,-3,-1,1)[/mm] in [mm]U[/mm]
> liegt
> Ich hab echt meine Schwierigkeiten mit dieser ganzen
> Materie... Also um die Basis zu bestimmen brauche ich ja
> ein Erzeugendensystem das auch noch linear Unabhängig ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (das EZS ist dann minimal!)
> Und da haperts auch schon... Ich müsste ja eine Matrix aus
> den Vektoren aufstellen und die Matrix dann in
> Zeilenstufenform überführen, richtig? Und an den Köpfen
> der Stufen könnte man die Basis identifizieren. Also:
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 2 \\
2 & 7 & 3 & 8 \\
3 & 7 & 1 & 5 \\
-2 & 0 & 4 & 6 \\
1 & 3 & 1 & 3 \\
\end{pmatrix}[/mm]
Sieht doch gut aus: Wenn Du nämlich diese [mm] $\IR^{5 \times 4}$-Matrix [/mm] A nennst,
dann ist das Bild der linearen Abbildung
[mm] $f_A \colon \IR^4 \to \IR^5$ [/mm] mit [mm] $f_A(x)=A*x$ [/mm] ($x [mm] \in \IR^4$)
[/mm]
gerade die Menge der Linearkombinationen der 4 [mm] $\IR^5$-Vektoren.
[/mm]
> Jetzt hat die Aufstellung natürlich nicht die richtige
> Form, darf ich dann einfach:
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 1 & 1 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 7 & 3 & 8 & 0 & 0 \\
3 & 7 & 1 & 5 & 0 & 0 \\
-2 & 0 & 4 & 6 & 0 & 0 \\
1 & 3 & 1 & 3 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}[/mm]
>
> ergänzen?
Zum einen hast Du da eine Nullspalte zuviel, Du willst doch nun sicher keine
[mm] $\IR^{5 \times 6}$-Matrix [/mm] draus machen. Zum anderen: Ja, darfst Du, aber was erhoffst
Du Dir dadurch?
("Dürfen" ist in dem Sinne gemeint, dass die zugehörige lineare Abbildung
[mm] $\IR^6 \to \IR^5$
[/mm]
das gleiche Bild hat wie [mm] $f_A\,.$)
[/mm]
> Die Dimension ließe sich ja nachher an der
> Anzahl der linear unabhängigen Vektoren ablesen.
Bring' doch einfach obige Matrix [mm] $A\,$ [/mm] in Zeilenstufenform. Dann schau' mal
in
![[]](/images/popup.gif) Satz 5.18,iii
Der Vorteil ist: Du kannst sowohl eine Basis von U als auch die Dimension
von U direkt ablesen. Und bei der $5 [mm] \times [/mm] 5$-Matrix sehe ich immer noch nicht,
was Du damit bezwecken willst. Denn klar: Du könntest die Determinante
der $5 [mm] \times [/mm] 5$-Matrix ausrechnen und sehen, dass diese 0 sein muss, und damit
die 5 Vektoren linear abhängig sind. Das ist aber keine Überraschung,
wenn man den Nullvektor *einschleust*!
P.S. Wie ich gerade bemerkt habe, hast Du den [mm] $\IR^{1 \times 5}$ [/mm] (ein "Zeilenvektor-
raum") eigentlich mit [mm] $\IR^{5 \times 1}$ [/mm] identifiziert... Aber das Umschreiben
geht ja analog!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Fr 21.11.2014 | | Autor: | mac257 |
also wäre die richtige Aufstellung von $A$
[mm] \pmat{0 & 2 & 3 & -2 & 1\\1 & 7 & 7 & 0 & 3\\1 & 3 & 1 & 4 & 1\\2 & 8 & 5 & 6 & 3},
[/mm]
korrekt? Demnach bekäme ich in ZSF:
[mm] \pmat{1 & 7 & 7 & 0 & 3\\0 & 2 & 3 & -2 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\}.
[/mm]
Meine Basis wäre dann [mm] $v_{1}=(1,7,7,0,3)$ [/mm] und [mm] v_{2}=(0,2,3,-2,1), [/mm] $dim(U)=2$.
Das mit der $5x6$-Matrix kam daher, weil ich dachte ich müsse die Form $n*(n+1)$ haben... meine Verwirrung hat sich allerdings gelegt :D.
Also passt das so?
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Hallo mac257,
> also wäre die richtige Aufstellung von [mm]A[/mm]
> [mm]\pmat{0 & 2 & 3 & -2 & 1\\1 & 7 & 7 & 0 & 3\\1 & 3 & 1 & 4 & 1\\2 & 8 & 5 & 6 & 3},[/mm]
>
> korrekt? Demnach bekäme ich in ZSF:
> [mm]\pmat{1 & 7 & 7 & 0 & 3\\0 & 2 & 3 & -2 & 1\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\}.[/mm]
>
> Meine Basis wäre dann [mm]v_{1}=(1,7,7,0,3)[/mm] und
> [mm]v_{2}=(0,2,3,-2,1),[/mm] [mm]dim(U)=2[/mm].
> Das mit der [mm]5x6[/mm]-Matrix kam daher, weil ich dachte ich
> müsse die Form [mm]n*(n+1)[/mm] haben... meine Verwirrung hat sich
> allerdings gelegt :D.
> Also passt das so?
Ja, das passt so.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 So 23.11.2014 | | Autor: | mac257 |
Gut, jetzt muss ich ja noch prüfen ob der Vektor $v:=(3,5,-3,-1,1)$ in $U$ liegt. Dazu muss ich ja prüfen, ob ich $v$ mit [mm] $v_{1}$ [/mm] und [mm] $v_{2}$ [/mm] darstellen kann, also:
[mm] $\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}=v$ [/mm] lösen. Ich fühle mich nicht so sicher mit diesen Zeilenvektoren, haben bislang alles mit Spalten gemacht. Also ist das korrekt das System jetzt so aufzustellen?:
[mm] \pmat{1 & 7 & 7 & 0 & 3\\0 & 2 & 3 & -2 & 1\\3 & 5 & -3 & -1 & 1}
[/mm]
und dann in reduzierte Zeilenstufenform bringen? Scheint mir blödsinnig zu sein aber habe grad keinen anderen Ansatz :-/
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> Gut, jetzt muss ich ja noch prüfen ob der Vektor
> [mm]v:=(3,5,-3,-1,1)[/mm] in [mm]U[/mm] liegt. Dazu muss ich ja prüfen, ob
> ich [mm]v[/mm] mit [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] darstellen kann, also:
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}=v[/mm] lösen.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ja, so kannst Du das machen.
Du bekommst dann ein LGS, welches in Tableauform so aussieht:
[mm] \pmat{1&0&|&3\\7&2&|&5\\7&3&|&-3\\0&-2&|&-1\\3&1&|&1}.
[/mm]
Dies kannst Du auf ZSF bringen, und siehst dann, ob es lösbar ist oder nicht.
> Ich fühle
> mich nicht so sicher mit diesen Zeilenvektoren, haben
> bislang alles mit Spalten gemacht. Also ist das korrekt das
> System jetzt so aufzustellen?:
> [mm]\pmat{1 & 7 & 7 & 0 & 3\\0 & 2 & 3 & -2 & 1\\3 & 5 & -3 & -1 & 1}[/mm]
Kannst Du auch tun.
Wenn die ZSF den Rang 2 hat, weißt Du, daß v in dem von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aufgespannten Raum liegt, hat es den Rang 3, so liegt v nicht im von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] aufgespannten Raum.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:12 So 23.11.2014 | | Autor: | mac257 |
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 23.11.2014 | | Autor: | mac257 |
Aha, jetzt ergibt das etwas mehr Sinn für mich. Ich mache das mal über den Rang der Matrix (nennen wir sie A):
[mm] \pmat{1 & 7 & 7 & 0 & 3\\0 & 2 & 3 & -2 & 1\\3 & 5 & -3 & -1 & 1} \to \pmat{1 & 7 & 7 & 0 & 3\\0 & 2 & 3 & -2 & 1\\0 & -16 & -24 & -1 & -8} \to \pmat{1 & 7 & 7 & 0 & 3\\0 & 2 & 3 & -2 & 1\\0 & 0 & 0 & -17 & 0}
[/mm]
Also $rg(A)=3$ [mm] \Rightarrow [/mm] $v$ liegt nicht in $U$.
Mit eurer Hilfe fällt mir das Ganze wesentlich leichter, danke dafür!
Ich hab auf dem Aufgabenzettel jetzt noch eine Aufgabe. Sollte ich da auch Probleme bekommen, gehört das hier rein oder in eine neue Diskussion?
Gruß
Hab den Inhalt der Mitteilung jetzt gelöscht und die Frage hier erzeugt. Ist hoffentlich weniger verwirrend für alle Leser :-S
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> Aha, jetzt ergibt das etwas mehr Sinn für mich. Ich mache
> das mal über den Rang der Matrix (nennen wir sie A):
> [mm]\pmat{1 & 7 & 7 & 0 & 3\\0 & 2 & 3 & -2 & 1\\3 & 5 & -3 & -1 & 1} \to \pmat{1 & 7 & 7 & 0 & 3\\0 & 2 & 3 & -2 & 1\\0 & -16 & -24 & -1 & -8} \to \pmat{1 & 7 & 7 & 0 & 3\\0 & 2 & 3 & -2 & 1\\0 & 0 & 0 & -17 & 0}[/mm]
>
> Also [mm]rg(A)=3[/mm] [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]v[/mm] liegt nicht in [mm]U[/mm].
Genau.
> Mit eurer Hilfe fällt mir das Ganze wesentlich leichter,
> danke dafür!
Wir freuen uns, wenn unsere Hilfe nützlich ist.
> Ich hab auf dem Aufgabenzettel jetzt noch eine Aufgabe.
> Sollte ich da auch Probleme bekommen, gehört das hier rein
> oder in eine neue Diskussion?
Neue Aufgaben gehören in neue Diskussionen, sofern es sich nicht um mit der ersten Aufgabe zusammenhängende Aufgaben handelt.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:07 So 23.11.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gut, jetzt muss ich ja noch prüfen ob der Vektor
> [mm]v:=(3,5,-3,-1,1)[/mm] in [mm]U[/mm] liegt. Dazu muss ich ja prüfen, ob
> ich [mm]v[/mm] mit [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm] darstellen kann, also:
> [mm]\lambda_{1}v_{1}+\lambda_{2}v_{2}=v[/mm] lösen. Ich fühle
> mich nicht so sicher mit diesen Zeilenvektoren, haben
> bislang alles mit Spalten gemacht.
dann schreibe es für Dich mit Spalten und transponiere das Ganze danach,
so dass es zur Aufgabenstellungsform passt.
Dann sollte man zwar immer zur Sicherheit nochmal jeden Schritt kontrollieren,
aber ich denke, wenn man in "Spaltenform" rechnen kann, ist das Ganze
bei der "Zeilenform" nur dahingehend verwirrend, dass man alles ein
wenig *verdreht* (genauer: geklappt, da transponiert) sieht.
Gruß,
Marcel
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