Berechnung eines Integrals < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:31 Di 20.01.2015 | | Autor: | Biensche |
| Aufgabe | Man zeige: [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{x^4+1} dx} =\bruch {\pi}{4}
[/mm]
Hinweis: Man verwende den Redisuensatz. |
Hallo zusammen.
Ich verzweifel gerade etwas an dieser Aufgabe.
Ich weiß, dass mein Nenner der Funktion f(x)= [mm] \bruch{x}{x^4+1} [/mm] keine rellen Nullstellen hat, sondern nur 4 komplexe. Nämlich [mm] \wurzel{i}, -\wurzel{i} [/mm] ,sowie [mm] i\wurzel{i} [/mm] und [mm] -i\wurzel{i}.
[/mm]
Ich hatte mir nun überlegt, das Integral so zu berechnen:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{x^4+1} dx} [/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}\integral_{\- infty}^{\infty}{\bruch{x}{x^4+1} dx} [/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] i [mm] \summe_{{z} \in obere Halbebene} Res_{z} [/mm] f
Wenn ich allerdings die Residuen von
[mm] Res_{ \wurzel{i}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4i}
[/mm]
[mm] Res_{ i\wurzel{i}} [/mm] =- [mm] \bruch{1}{4i}
[/mm]
berechne, kommt ja beim Integral 0 raus und nicht wie gewünscht [mm] \bruch {\pi}{4}.
[/mm]
Deswegen ist meine Frage, ob mein Ansatz stimmt oder ob ich einen anderen verwenden muss. Wenn ja, wie gehe ich an ein solches Integral ran?
Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.
LG Biensche
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:15 Di 20.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
betrachte die bis auf isolierte Singularitäten in [mm] $\mathbb{C}\setminus\{\Im(z)=0,\Re(z)\ge 0\}$ [/mm] holomorphe Funktion [mm] $g(z)=f(z)\ln(z)$, [/mm] wobei [mm] $\ln$ [/mm] den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet, dessen Schlitz die positive reelle Achse ist.
Definiere für [mm] $\epsilon,R>0$ [/mm] geeignet die Wege [mm] $\gamma_1(t)=t+i\epsilon$, [/mm] $t [mm] \in [/mm] [0,R]$, [mm] $\gamma_2(t)=Re^{it}$, [/mm] $t [mm] \in [\arctan \epsilon/R, 2\pi-\arctan \epsilon/R]$, $\gamma_3(t)=-t-i\epsilon$, [/mm] $t [mm] \in [/mm] [-R,0]$, [mm] $\gamma_4(t)=\epsilon e^{-it}$, [/mm] $t [mm] \in [\pi/2,3\pi/2]$.
[/mm]
Wende den Residuensatz auf g und die Hintereinanderausführung von Wegen [mm] $\gamma_4 \circ \gamma_3 \circ \gamma_2\circ \gamma_1$ [/mm] an.
Das schöne an diesem Vorgehen ist, dass man f auch durch eine hinreichend schnell abfallende (rationale) Funktion ersetzen kann, es Funktioniert genauso.
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:25 Di 20.01.2015 | | Autor: | andyv |
Für die spezielle Funktion [mm] $f(z)=\frac{z}{z^4+1}$ [/mm] geht es ein wenig einfacher:
Betrachte dazu für R>2 die Wege [mm] $\gamma_1(t)=t$, $t\in [/mm] [0,R]$, [mm] $\gamma_2(t)=Re^{it}$, [/mm] $t [mm] \in [0,\pi/2]$, $\gamma_3(t)=-it$, [/mm] $t [mm] \in [/mm] [-R,0]$.
Im inneren des geschlossenen Weges [mm] $\gamma_3 \circ \gamma_2 \circ \gamma_1$ [/mm] befindet sich nur eine Singularität, nämlich [mm] $z_1=e^{\pi i/4\}$.
[/mm]
Du findest dann mit dem Residuensatz (auf f und [mm] $\gamma_3 \circ \gamma_2 \circ \gamma_1$ [/mm] angewandt) $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x}{x^4+1} dx} =\pi [/mm] i [mm] \text{Res}\limits_{z=z_1}f(z)$
[/mm]
Liebe Grüße
|
|
|
|
