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Bedingungen für Messbarkeit: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:23 Mo 07.11.2016
Autor: Septime

Aufgabe
Sei Ω eine überabzählbare Menge und sei S die Sigma-Algebra von allen Teilmengen von Ω, welche entweder abzählbar sind oder deren Komplement abzählbar sind. Sie können annehmen, dass das eine Sigma-Algebra ist.

a) Geben Sie eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Messbarkeit einer numerischen Funktion g:Ω→ℝ∪{∞}.

b) Sei [mm] \mu:S [/mm] → [0, ∞] definiert als
[mm] \mu(A)=\begin{cases} 0, & \mbox{für } A \mbox{ abzählbar} \\ \infty , & \mbox{sonst } \end{cases} [/mm]
Wir wissen, dass [mm] \mu [/mm] ein Maß auf (Ω ,S)  ist. Was sind die f-integrierbaren Funktionen? Was sind ihre Integrale?


Hallo Leute!

Hier sind meine Ideen.
a) Sei g: (Ω ,S) → (ℝ∪{∞},B). Dann ist eine notwendige Bedingung, dass (ℝ∪{∞},B) ein Messraum ist, dh. insbesondere muss B eine Sigma Algebra sein.

Als hinreichende Bedingung habe ich, dass [mm] g^{-1}(A_{2}) [/mm] oder das Komplement von [mm] g^{-1}(A_{2}) [/mm] abzählbar sein muss für alle [mm] A_{2} [/mm] aus B, wobei (ℝ∪{∞},B) ein Messraum ist.


b) Sei f:Ω→ ℝ∪{∞},  
[mm] f(x)=\begin{cases} c, & \mbox{für } x \mbox{ abzählbar} \\ 0, & \mbox{für } x \mbox{ überabzählbar} \end{cases} [/mm] mit c aus ℝ∪{∞}.

Dann ist f für alle c aus ℝ∪{∞} [mm] \mu-integrierbar [/mm] und das Integral ist
[mm] \integral_{ Ω }^{}{|f(x)| d\mu(x)}=c*\mu(y)+0*\mu(z)=c*0+0*\infty [/mm] = 0, wobei y abzählbär ist und z überabzählbar ist.

Ich freue mich auf jede Antwort.

Gruß
Septime

        
Bezug
Bedingungen für Messbarkeit: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:22 Mi 09.11.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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